Baire 范畴定理

每个稠密开条件都允许在当前小区域内找一块更小的安全区域。第 $n$ 步把前 $n$ 项要求永久保存，然后缩小直径。完备性将这些彼此相容的有限承诺兑现成一个点。

“稠密”不能独自完成这件事。$\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 都在实线稠密，交却为空。开性使下一步有一个真正的邻域可继续缩小，而不是只剩无厚度的点集。

删除有理点之后还稠密 ​

把有理数列为 $q_0,q_1,\dots$，令 $G_n=\mathbb{R}\setminus \{q_n\}$。各 $G_n$ 开且稠密，交为无理数集。定理说明每个开区间中仍有无理数，也说明 $\mathbb{R}$ 不能被可数个无处稠密集覆盖。

若把承载空间改成 $\mathbb{Q}$，则 $\mathbb{Q}\setminus \{q_n\}$ 在其相对拓扑中仍开且稠密，但交为空。这是去掉完备性后的直接反例，也证明 $\mathbb{Q}$ 不可能换上一种相容完备度量。

范畴大与概率大不是同一回事 ​

在实线枚举有理数 $q_j$。对每个 $n\ge 1$，选包含 $q_j$ 的开区间 $I_{n,j}$，令其长度小于 $2^{-n-j-1}$，并设 $O_n=\bigcup _j{I}_{n,j}$。每个 $O_n$ 开且稠密，但 Lebesgue 测度至多 $2^{-n}$。

因此 $G=\bigcap _n{O}_n$ 是稠密 $G_{\delta }$ 集，补集是贫集；同时 $\lambda (G)\le 2^{-n}$ 对所有 $n$ 成立，故 $\lambda (G)=0$。一个集合可以在范畴意义下极大、在测度意义下极小。“通常成立”必须先说明采用哪种大小概念。

设 $X=\bigcup _n{F}_n$，其中 $F_n$ 闭，且 $X$ 是非空完备度量空间。至少有一个 $F_n$ 内部非空，否则各 $F_n$ 都无处稠密，违反定理。一致有界原理公理库一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。正是把逐点有界写成这类闭集覆盖，再从某一块内部非空提取统一估计。

开映射定理公理库开映射定理Open mapping theoremBanach 空间之间的满射有界线性算子把开集映成开集。也使用“可数闭覆盖中有一块含球”的机制，但随后仍需线性结构和逐步逼近。Baire 定理本身既不提供算子范数，也不保证构造出的点可计算。

在 Polish 空间公理库Polish 空间Polish space可分且可完全度量化的拓扑空间；用换度量、可数乘积和子空间例子区分拓扑性质与指定度量的完备性。中可以先选相容完备度量应用本定理。完备性是一个充分条件；一般所谓 Baire 空间只要求上述稠密开交性质，不能反推手头度量完备，也不要和专指 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ 的 Baire 空间混为一谈。