Cantor 空间与 Baire 空间

序列的一次有限观察只告诉我们一个前缀。增加观察长度，就是沿着前缀树向下走；每下降一层，允许的延续更少。度量表示区分两条序列要等多久，而不是逐位数值差的大小。Baire 空间中，首位分别为 $1$ 和 ${10}^6$ 的两条序列距离也只是 $1$。

两者为何完备、可分 ​

设 $(x_j)$ 为 Cauchy 列。给定 $n$，最终两项距离小于 $2^{-n}$，所以它们在坐标 $0,\dots ,n$ 上一致。每个坐标因此有最终值；把这些值拼成 $x$，便有 $x_j\to x$。极限仍使用原字母表，因而仍在空间中。

所有“某处之后恒为零”的序列构成可数稠密集：每个非空柱集 $[s]$ 都含 $s{0}^{\mathrm{\infty }}$。所以两者都是 Polish 空间公理库Polish 空间Polish space可分且可完全度量化的拓扑空间；用换度量、可数乘积和子空间例子区分拓扑性质与指定度量的完备性。。这一证明允许字母取值无界，因为它只要求每个坐标最终稳定。

紧性在哪里分开 ​

在 Cantor 空间中，从任意序列列 $(x_j)$ 先取首位相同的无限子列，再取第二位相同的无限子列，依次进行。每层只有两个选择，至少一个保留无限项。对角抽取便得到收敛子列；由度量空间中序列紧与开覆盖紧的等价性公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。，Cantor 空间紧。

Baire 空间的开覆盖 $\{[⟨n⟩]:n\in \mathbb{N}\}$ 没有有限子覆盖：遗漏任何 $m$ 就遗漏所有首位为 $m$ 的序列。也可看 $x_n=(n,0,0,\dots )$；任意两项距离为 $1$，没有收敛子列。两者的差别是有限分支与无限分支，不是完备与不完备。

实数编码不要混淆两种展开 ​

映射

把 Cantor 空间同胚到实线的三分 Cantor 集。若首个不同位置为 $k$，该项差为 $2/3^{k+1}$，而其后最大抵消量为 $1/3^{k+1}$，所以不同序列不会合并。

改用二进展开 $\sum x(n)2^{-n-1}$ 则不单射：$0.0111\cdots =0.1000\cdots$。它仍是到 $[0,1]$ 的连续满射，却不是同胚。数码集合与它在实线中的数值必须分清。

闭集可以由允许的有限前缀树表示。若 $F$ 闭，令 $T$ 包含所有能延续到 $F$ 中某点的前缀，则 $F=[T]$；若 $x\notin F$，某个柱集邻域已与 $F$ 不交，于是 $x$ 的某个前缀不在树上。这样按“可延续到 $F$”选出的树没有死结点。若改用一般的前缀封闭树表示同一个闭集，则可以额外带有死结点；它们不产生无限路径。

解析集公理库解析集与余解析集Analytic set · Coanalytic set以闭集投影定义解析集，通过树的无限分支展示存在性见证及超出 Borel 的边界。用 Baire 空间中的无限序列作见证，再将见证坐标投影掉。Martin-Löf 随机性公理库Martin-Löf 随机性Martin-Löf randomness · 马丁–勒夫随机性以统一可枚举、概率预算趋于零的开集检验，定义单条无限比特序列的随机性，并构造通用检验。则在 Cantor 空间的柱集上分配公平币概率。拓扑定义本身不选择概率；给柱集质量 $2^{-|s|}$ 是另外加上的结构。