标准 Borel 空间

拓扑说明哪些点彼此接近，可测结构只记录哪些集合是允许询问的事件。标准 Borel 空间允许遗忘前者，却保留一套来自良好拓扑的可数编码。它不指定概率测度，更不指定“几乎处处”的含义。

同一个可测结构可能由很不同的拓扑产生。不可数标准 Borel 空间彼此 Borel 同构，因而实线、Cantor 空间与 Baire 空间在这个层面无法区分；它们的连通性、紧性和维数当然仍可能不同。[2, Corollary 2.34]

有理数的拓扑不完备，可测空间仍标准 ​

给 $\mathbb{Q}$ 通常的相对拓扑。因为每个单点闭，且每个子集可数，任意子集都是可数个单点的并。因此

通常拓扑并非 Polish，但改用可数离散拓扑后，离散度量完备，Borel σ-代数仍是 $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$。所以 $(\mathbb{Q},\mathcal{B}(\mathbb{Q}))$ 是标准 Borel 空间。定义只要求存在某种实现这个可测结构的 Polish 拓扑，不要求原先给定的拓扑就实现完备性。

可测结构太少或太多都会出问题 ​

若 $X$ 至少有两个点，而 $\mathcal{A}=\{\varnothing ,X\}$，则该空间不是标准 Borel。Polish 空间的单点闭，Borel 集能分开不同点；平凡 σ-代数做不到。

另一方面，实线上的 Lebesgue σ-代数也不是标准 Borel 结构。它包含一个零测 Cantor 集的所有子集，故至少有 $2^{\mathfrak{c}}$ 个集合。Polish 空间有可数基，Borel 集通过可数编码至多有 $\mathfrak{c}$ 个。把测度完备化加入的零集子集，不应悄悄当成仍属于原来的标准 Borel 结构。[1, §1]

一个可逐项检查的编码 ​

令 $X=\mathbb{N}\times \{0,1\}$，取离散可测结构，定义 $f(n,b)=2n+b$。这是到 $\mathbb{N}$ 的双射，逆函数是商和余数；两边所有集合都可测，所以两方向都可测。这个简单例子展示“编码”要同时完成一一对应与事件可搬运，只有集合大小相同还不够。

标准 Borel 空间的可数乘积和 Borel 子空间仍标准 Borel；这让有限记录、可数时间轨迹以及满足 Borel 约束的参数集处于同一个可测框架。对于任意非 Borel 子集，不能直接沿用这个结论。

正则条件概率公理库正则条件概率Regular conditional probability把给定信息后的所有事件条件概率同时选择为一个逐点概率测度核。和测度分解公理库测度析取定理Disintegration theorem · Disintegration of measures · 测度分解定理把标准 Borel 空间上的联合测度分解为边缘测度与沿纤维变化的条件概率核。常在标准 Borel 值域上成立。它们用概率核把条件分布随条件值可测地组织起来。条件对象依旧只在条件变量分布的几乎处处意义下唯一，标准 Borel 假设不会替你指定零概率条件上的唯一答案。

Borel 归约公理库Borel 可归约性Borel reducibility用双向保持等价关系的 Borel 编码比较分类问题，手算整数差分类并区分归约、同态和光滑性。进一步要求编码保持某个等价关系。空间本身能相互 Borel 编码，不代表空间上任意分类问题同样容易；难度可能藏在等价类结构，而不在点集的大小里。