大偏差收缩原理

输出 $y$ 可能由多个不同输入产生。若只观测输出，就分不清输入走了哪条路线；事件会由成本最低的路线主导。因此要对所有原像取下确界，而不是任选一个逆函数，也不是把成本平均。

证明从集合原像开始。输出开集 $G$ 的原像 $f^{-1}(G)$ 仍开，直接使用原 LDP 下界；闭集的原像仍闭，使用上界。因为 $\underset{f^{-1}(A)}{inf}I=\underset{A}{inf}J$，两个界正好具有所需形式。

还要确认 $J$ 是良速率。给定有限 $c$，有 $\{J\le c\}=f(\{I\le c\})$：非平凡方向取近似最优原像，由 $I$ 的紧子水平集抽出收敛子列，再用连续性和下半连续性取得最优点。因此输出子水平集是紧集的连续像。

图中取 $\sigma =1$，原速率为 $I(x)=(x-1{)}^2/2$。

设 $X_n$ 为均值 $1$、方差 ${\sigma }^2>0$ 的 IID 高斯样本均值，其速率为 $I(x)=(x-1{)}^2/(2{\sigma }^2)$。令 $Y_n=X_n^2$。对 $y>0$，原像有 $\sqrt{y}$ 与 $-\sqrt{y}$，所以

$J(0)=1/(2{\sigma }^2)$，$y<0$ 时 $J(y)=\mathrm{\infty }$。正根更接近原均值，因此成本更低。若原高斯均值是零，两条路线成本相同，得到 $J(y)=y/(2{\sigma }^2)$，但 LDP 不会告诉两条路线各贡献多少前因子。

连续性不能省略。取确定序列 $X_n=1/n$，它具有速率 $I(0)=0$、其余点无穷的 LDP。令不连续函数 $f(x)={\mathbf{1}}_{\{x>0\}}$，则 $f(X_n)\equiv 1$，真实零成本点为 $1$。若错误套用原像公式，因 $f(0)=0$ 会把零成本分配给 $0$，完全反了。

良速率条件也有职责：在非紧情形，近似最优原像可能逃向无穷，导致输出速率的下半连续性需要额外处理。若函数只在某个有限速率区域连续，应调用相应推广并证明条件，不能默认为本页版本覆盖。

由Sanov 定理公理库Sanov 定理Sanov theorem以相对熵刻画 IID 经验测度偏离总体分布的指数成本，有限字母表下可由类型计数推导。的经验测度 LDP 取连续统计量，可以导出多种统计摘要的速率。但弱拓扑下 $\nu \mapsto \int xd\nu$ 对无界函数 $x$ 一般不连续，所以不能无条件从 Sanov 一步推得无界样本均值的 Cramér 定理；指数矩控制或更强拓扑负责补足这个缺口。