指数紧性

普通紧性要求逃出某个大盒子的概率很小；指数紧性要求它比事先指定的 $e^{-M{a}_n}$ 还小到指数阶。研究稀有事件时，仅有一个百分之一的小尾部可能远大于目标事件，因此普通紧性不够。

对闭集 $F$，分解

两项和在对数尺度上的上极限不超过两个上极限的最大值。第一项用紧集上界，第二项用指数紧性，得到上界至多 $max\{-\underset{F}{inf}I,-M\}$；再令 $M\to \mathrm{\infty }$，得到所有闭集所需的界。

为什么速率的子水平集紧？若 $I(x)\le c<M$ 而 $x\notin K_M$，开集 $K_M^c$ 的下界与指数紧性上界相冲突。所以 $\{I\le c\}\subset K_M$；再用下半连续性知它是紧集中的闭集。

令 $Z_n\sim N(0,1/n)$。Chernoff 指数矩方法公理库Chernoff 方法与 Chernoff 界Chernoff method · Chernoff bounds从指数矩与 Markov 不等式推导尾界，给出独立 Bernoulli 和的乘法形式、KL 形式及适用条件。给出 $P(|Z_n|>R)\le 2e^{-n{R}^2/2}$。给定 $M$，取 $R\ge \sqrt{2M}$、$K_M=[-R,R]$，便满足速度 $n$ 的指数紧性。因子 $2$ 的对数除以 $n$ 消失，半径直接由要求的指数成本决定。

反例令 $Z_n=n$ 的概率为 $e^{-\sqrt{n}}$，其余概率落在 $0$。它依概率趋于零，分布族普通紧；但不妨将固定紧集扩大到包含零；它最终仍容不下点 $n$，所以

它在速度 $n$ 下不指数紧。固定有限位置附近只看得到零点，候选局部速率为 $I(0)=0$、$I(x)=\mathrm{\infty }$ 对 $x\ne 0$，并且紧集上界确实成立；可是闭集 $[1,\mathrm{\infty })$ 的概率以次指数速度消失，完整上界要求的 $-\mathrm{\infty }$ 却不成立。质量一直往外跑，绕过了每个固定紧集。

指数紧性不是“任意尾概率都超指数小”。紧集外的成本可以通过扩大紧集变得任意大，但固定紧集外通常仍只有一个有限指数成本。若状态空间本来紧，直接选整个空间，指数紧性自动成立。

在有限维空间中，零点附近的有限指数矩常能给出指数紧性：逐坐标用正负指数界，再取有限并集。无限维路径空间仅控制单时刻大小通常不够，还需控制路径振荡，保证所选集合真正紧。这是把有限维分布大偏差提升为路径大偏差时的一项关键工作。