Monge 输运问题

映射给每个出发点贴上一个目的地标签。同一点的质量无法分成两批贴不同标签；不同出发点则可以去同一个目的地。这个确定性约束，比只要求联合分布有指定边缘强得多。

如果源是一块连续的均匀质量，可以把不同位置分到不同目的地；如果源只有一个原子，原子内部在当前数学模型里没有可区分的位置，因此不能再分割。这里是否允许拆分由表示方式决定，不是实际沙粒大小的争论。

取 $\mu ={\delta }_0$，$\nu =\frac{1}{2}{\delta }_{-1}+\frac{1}{2}{\delta }_1$。任意映射都满足 $T_{\mathrm{\#}}{\delta }_0={\delta }_{T(0)}$，仍是单个原子，故没有可行映射。即使两个目的地离源同样远，最小成本尚未进入讨论，可行性已经失败。

反过来，令 $\mu$ 为 $[0,1]$ 上均匀分布，$\nu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_1$。映射

把两段各半的质量送到两个原子，推前约束成立。平方成本为

它为何最优？送到 $1$ 而非 $0$ 的成本差为 $(1-x{)}^2-x^2=1-2x$，随 $x$ 严格下降。必须恰好选一半质量去 $1$，应选择差值最小的右半区间。若把较小位置送到 $1$、较大位置送到 $0$，交换两者会降低成本，同时保持边缘质量。

映射可行也不保证任意可行映射最优。对同一个均匀分布到自身，恒等映射平方成本为零，反射 $T(x)=1-x$ 同样保持分布，成本却为 ${\int }_0^1(1-2x{)}^{2}dx=1/3$。推前约束只描述搬到哪里，成本再比较如何搬。

一般成本下，即使存在可行映射，最优映射是否存在仍是另一个问题。可行映射序列的极限可能表现为质量拆分，因此映射类不像一般输运计划那样容易保持闭性。

对同一非负成本，允许同一源点的质量分给多个目的地，就得到Kantorovich 输运问题公理库Kantorovich 输运问题Kantorovich transport problem在指定边缘的联合分布上最小化搬运成本，允许拆分质量并利用弱紧性保证最优计划存在。。在欧氏空间平方成本、源分布绝对连续等条件下，Brenier 定理公理库Brenier 定理Brenier theorem在绝对连续源和有限二阶矩条件下，平方成本最优计划由唯一的凸梯度映射给出。进一步保证松弛问题的最优计划其实由唯一映射实现，说明何时可以放心回到 Monge 描述。