上穿不等式

每完成一次从 $a$ 以下到 $b$ 以上的上穿，“低处买入、高处卖出”的策略至少赚取 $b-a$。不过，最后一次买入可能尚未卖出，直接计算原过程的收益会留下浮动亏损。把过程先截成 $Y_n=(X_n-a{)}^{+}$ 后，每次买入时 $Y=0$，未完成持仓也只能贡献非负值。这一步使路径振荡转为可积的账面收益。

图中路径为 $(0,1,2,0,-1,2,0,1)$，区间为 $[0,2]$。绿色区段对应两次完整持仓，最后一段用蓝色标出。$U_7[0,2]=2$；最后到达 $1$ 不能算作第三次。折线只是连接离散观测值，计数使用标出的整数时刻。

用互补持仓控制期望 ​

条件 Jensen 不等式保证 $Y$ 是下鞅。令 $H_k\in \{0,1\}$ 表示在第 $k-1$ 次观测后是否持有，从而 $H_k$ 对 ${\mathcal{F}}_{k-1}$ 可测。总收益为

每段完整持仓贡献至少 $b-a$，未完成持仓贡献非负，所以逐路径有 $G_N\ge (b-a)U_N[a,b]$。另一策略恰在空仓时持有，即持仓量为 $1-H_k$。下鞅的条件漂移非负，故

两种策略收益之和恰为 $Y_N-Y_0$，因此 $\mathbb{E}{G}_N\le \mathbb{E}{Y}_N-\mathbb{E}{Y}_0$，得到不等式。这里真正提供收益上界的是互补持仓；仅说“持仓不偷看未来”还不足以让下鞅收益的期望等于零。

四步公平游走 ​

令 $S_0=0$，每一步独立取 $\pm 1$，考虑区间 $[0,2]$。四步内最多完成一次上穿，因为从 $0$ 到 $2$ 至少需要两步，完成以后若要再回到 $0$ 并重新到达 $2$，还需至少四步。

十六条等概率增量路径中，前两步为 $++$ 的四条路径都在时刻 $2$ 完成上穿。余下路径中只有 $+-++$ 和 $-+++$ 在时刻 $4$ 首次到达 $2$。所以

另一方面，$S_4$ 取正值时，要么为 $4$（一条路径），要么为 $2$（四条路径），于是 $\mathbb{E}(S_4{)}^{+}=(4+4\cdot 2)/16=3/4$。不等式给出

本例恰好取等号。比如路径 $(0,-1,0,1,0)$ 始终没有到达 $2$，即使多次回到买入区域，也没有完成任何上穿。

一般适应过程没有这个保证 ​

确定性路径 $0,2,0,2,0$ 完成两次上穿 $[0,2]$，却在终点回到零。若把它代入定理左边得到 $4$，右边得到 $0$。矛盾只说明这不是下鞅：从 $2$ 确定地跌至 $0$ 违反条件漂移要求。可积与适应本身不能替代下鞅条件。

如果 $\underset{n}{sup}\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty }$，那么对每个固定 $a<b$，上穿次数的期望有统一上界。随着 $N$ 增加，$U_N[a,b]$ 单调增长；无限次上穿的概率因而为零。再对所有有理数端点同时处理，就能排除任何持续振荡，得到鞅收敛定理公理库鞅收敛定理Martingale convergence theorem · Almost sure martingale convergence绝对一阶矩统一有界的离散下鞅具有有限的几乎必然极限，但未必在一阶均值中收敛。的核心机制。

它与Doob 最大不等式公理库Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。回答不同问题：最大不等式控制一次很大的偏离，上穿不等式控制在两个固定水平之间反复来回。得到路径极限之后，是否还能交换期望与极限，则需要一致可积性公理库一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。。

自测。 图中删去时刻 $5$ 的值 $2$，改为 $1$，其余观测不变，$U_7[0,2]$ 是多少？答案是 $1$。第二次在时刻 $3$ 买入后始终未到达 $2$，时刻 $6$ 再次触及 $0$ 也不会凭空完成一次上穿。