一致可积性

均值有界只限制总量；UI 还限制这些总量能否集中在越来越罕见、数值越来越大的事件上。一个序列在几乎每条路径上趋于零，仍可能靠极少数巨大值保持均值为一。UI 排除的正是这种“路径上消失、期望中仍有质量”的现象。

寻找共同控制变量是检验 UI 的一种方便方法。若 $|X|\le Y$ 对族中所有变量成立，且 $\mathbb{E}Y<\mathrm{\infty }$，则

最后一步由控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。保证。UI 的定义本身不要求先找出这样一个 $Y$；直接估计尾部往往更灵活。

高度增长仍可一致可积 ​

令 $U$ 在 $(0,1)$ 上均匀分布，$X_n=n^2{\mathbf{1}}_{\{U<n^{-3}\}}$，$n\ge 1$。它的高度为 $n^2$，出现概率为 $n^{-3}$，所以 $\mathbb{E}{X}_n=1/n$。当 $n^2\le K$ 时尾部贡献为零；当 $n^2>K$ 时，贡献为 $1/n$。因此对 $K\ge 1$，

这给出共同截断的明确选择：要使尾部小于 $\epsilon$，可取 $K>{\epsilon }^{-2}$。对每个 $U>0$，事件 $U<n^{-3}$ 最终不再发生，故 $X_n\to 0$ 几乎必然；同时 $\mathbb{E}|X_n|=1/n\to 0$。

若把概率改成 $n^{-2}$，即 $Y_n=n^2{\mathbf{1}}_{\{U<n^{-2}\}}$，则依然几乎必然趋于零，却有 $\mathbb{E}{Y}_n=1$。对每个有限 $K$，总能选到 $n^2>K$，该变量的全部期望都在尾部，故尾部期望的上确界恒为 $1$。这说明一致 $L^1$ 有界不足以推出 UI。

高阶矩是便于使用的充分条件 ​

若某个 $p>1$ 满足 $\underset{X}{sup}\mathbb{E}|X{|}^p=C<\mathrm{\infty }$，则在 $|X|>K$ 上有 $|X|\le K^{1-p}|X{|}^p$，从而尾部期望至多为 $C{K}^{1-p}$。这里 $p>1$ 正是让截断误差衰减的条件；取 $p=1$ 就回到上面的失败边界。

概率空间上的 Vitali 收敛判据说：若 $X_n\to X$ 依概率成立，则 $X_n\to X$ 在 $L^1$ 中成立，当且仅当 $\{X_n\}$ 一致可积。证明的截断机制很具体：先把变量截到 $[-K,K]$，处理有界部分的收敛，再用 UI 统一消去两端尾部。对极限变量的可积性，可先取几乎必然收敛子列并用 Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。；有界部分则可沿任意子列再取几乎必然收敛子列，应用控制收敛，最后得到整个序列的结论。反向由 $L^1$ 距离小控制序列后段，再单独处理有限多个初始变量。

这一判据在鞅的 L¹ 收敛定理公理库鞅的 L¹ 收敛定理L1 martingale convergence theorem · Uniformly integrable martingale convergence · Closed martingale离散鞅一致可积当且仅当它在 L¹ 中收敛，也当且仅当它由一个可积随机变量的条件期望闭合。中把路径极限提升为均值极限；在可选停止定理公理库可选停止定理Optional stopping theorem · Optional sampling theorem在足以控制随机停止与极限交换的条件下，鞅的期望在停时前后保持不变。中，它保证有界截断停时的结论能够传到无界停时。使用时应明确检查的是原变量族还是停止后的变量族，两者不能不加论证地互换。

自测。 若 $\underset{n}{sup}\mathbb{E}|Z_n{|}^{3/2}\le 8$，怎样保证所有尾部期望不超过 $0.1$？上面的估计为 $8/\sqrt{K}$，因此 $K\ge 6400$ 足够。这个检验给出可用的共同阈值，不要求知道每个 $Z_n$ 的具体分布。