关系数据模型

模式回答“这一列代表什么位置”，实例回答“此刻哪些事实成立”，查询回答“从这些事实能找出哪些答案”。例如选课表中一行 $(\text{甲},\text{算法})$ 只表示甲选了算法，不表示甲只能选算法，更不表示表里已经列完所有可能的学生。

把关系当集合让查询的意义独立于存储方式。数据库可以扫描磁盘页、走索引或并行处理，只要给出相同的结果集合，就实现了同一个查询。计算速度、并发时看见哪个实例、崩溃后保留哪个实例，都是需要另外说明的问题。

两张表与六个实际值 ​

沿用二元关系条目的选课例子：

上表是 $\mathsf{Enroll}$；授课表 $\mathsf{Teach}$ 为：

每张表恰有三个元组，而活跃域有六个值：甲、乙、算法、数据库、林、周。问“每个学生能通过选修的课程联系到哪些教师”，输出模式只有 Student、Teacher 两列；课程仍参与判断，却不必出现在答案里。

向外部论域加入从未出现的“丙”，并不插入选课行，也不改变活跃域。一个仅根据现有选课与授课事实寻找见证的查询，答案因此不会改变。相反，“找出论域中未选课的所有值”会依赖论域范围；这正是关系演算需要处理的边界。

表的约束不能从外观猜测 ​

甲出现两次不违反关系模型，也不违反尚未声明的“学生主键”。只有另行声明 Student 为键，才要求同一学生不能对应两个不同 Course 值。键约束是对允许实例的限制，不是每张表第一列的默认性质。

函数依赖与属性闭包公理库函数依赖与属性闭包Functional dependency · Attribute closure · Candidate key从两行的一致性定义函数依赖，用固定点计算全部可决定属性，并以有限反模型证明闭包算法完备。把这类约束写成两行的一致性条件：相同 Student 必须有相同 Course，就写作 $\mathsf{Student}\to \mathsf{Course}$。候选键则要求其属性决定整行，并且删掉任一属性后不再能保证这一点。依赖后承要求一条依赖在所有合法实例中成立，不能仅凭一张样本没有冲突便断言它成立。后续的闭包与分解课程固定无限共同论域，以便构造有限反例。

这种区别也决定查询包含的含义：无约束包含要遍历所有有限集合实例，带约束包含只遍历满足声明的实例。例如声明 $\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x))$ 后，只含 $P(a)$ 而没有 $Q(a)$ 的实例就不合法。合取查询的规范数据库判据公理库合取查询Conjunctive query · CQ · Select-project-join query用关系事实的匹配定义集合答案，并以规范数据库与反向同态判定所有有限实例上的查询包含。会直接使用由查询原子组成的实例，因此必须先说明是否有这些额外约束，才能判断它是不是可用的反例。

空表同样合法。所有正元关系都为空、且查询没有常量时，$A_{I,q}$ 可以为空；外部一阶论域仍保持非空。零列真关系 $\{()\}$ 中也没有任何值，因此它非空却不增加活跃域。必须分别判断“有没有元组”“有没有出现过的值”和“有没有允许量化的对象”。

关系代数公理库关系代数Relational algebra · Set relational algebra用选择、投影、积、重命名与集合运算组合有限关系查询，并在集合语义下解释连接和存在见证。把查询写成具有明确输入、输出列的运算组合；关系演算公理库关系演算Relational calculus · Domain relational calculus用一阶公式的满足条件定义关系查询，并以域独立性区分仅依赖数据库事实的查询与依赖外部论域的公式。把答案写成满足公式的元组。两者共用本页的有限集合实例，才能精确比较表达能力。

合取查询公理库合取查询Conjunctive query · CQ · Select-project-join query用关系事实的匹配定义集合答案，并以规范数据库与反向同态判定所有有限实例上的查询包含。进一步提取“存在一组相互匹配的事实”这一常用片段，选课例子就属于它。数据库事务公理库数据库事务Database transaction · Transaction以 begin 与 commit 或 abort 划定的一次逻辑状态变换，把多项读写作为共同成功或放弃的工作单位。则划定一组读写共同提交或中止的边界：查询语义确定在一个实例上应返回什么，事务与隔离规则确定执行时应观察哪个状态。