伪真参数与错配目标

模型可能只是一个压缩规则：把真实分布投到一族容易解释的形状上。伪真参数说明这种压缩保留哪项特征。压缩越来越稳定，不代表整个真实分布越来越像工作模型；它只意味着所选准则对最优代表的意见越来越一致。

这也解释了稳健标准误的边界。它可以校准估计值围绕实际目标的随机散布，却不能把“平均响应”自动变成“无污染中心”，也不能把关联系数自动变成因果效应。

错配正态模型仍准确地以均值为目标 ​

工作模型为 $N(\theta ,1)$，真实分布为

这里 $E_{Q}X=1$，${\mathrm{Var}}_{Q}X=1+0.9\cdot 0.1\cdot {10}^2=10$。工作负对数似然与 $(X-\theta {)}^2/2$ 只差常数，因此

唯一伪真参数为 ${\theta }^{\ast }=1$。工作模型不能表达双成分结构，但样本均值仍一致估计真实总体均值，且根号样本量方差为10。错误使用工作模型内的信息逆会报方差系数1；sandwich 协方差理路Sandwich 协方差估计Sandwich covariance estimation从得分与敏感度的样本矩阵算出可复核的协方差、对比标准误和异方差稳健推断。则使用真实残差方差，得到10。

若问题本来就问“所有观测的平均值”，目标是1，并不存在中心偏差。若问题问“90%主体成分的位置”，目标是0，偏差1不是标准误问题；即使区间越来越窄，也只会越来越有把握地围住另一个目标。

同一分布，平方损失和 Huber 损失选择不同对象 ​

另取离散分布 $Q(X=0)=0.9$、$Q(X=10)=0.1$。平方损失仍以均值1为极小点。固定阈值1的 Huber 准则，在 $0\le t\le 1$ 内的总体得分为

所以唯一解为 $t^{\ast }=1/9$。唯一性也可核查：得分单调不增，在包含该点的区间严格递减，区间两端异号。这不是两个估计量对同一个目标给出相反答案，而是两条准则选取了不同的分布泛函。

这个离散例只用于比较损失目标，不使用前面的连续密度 KL 恒等式。离散 $Q$ 对连续正态工作分布的 KL 为无穷，不能把平方损失投影在此直接叫作有限 KL 投影。

线性投影不要求条件均值真是直线 ​

设 $E{Y}^2<\mathrm{\infty }$、$E\Vert Z{\Vert }^2<\mathrm{\infty }$，$Q_Z=EZ{Z}^{\mathsf{T}}$ 正定。平方损失 $E(Y-Z^{\mathsf{T}}\beta {)}^2$ 的唯一解为

这是一个边际正交条件，不蕴含 $E[Y-Z^{\mathsf{T}}{\beta }^{\ast }\mid Z]=0$。例如 $X\sim \mathrm{Uniform}[-1,1]$，$Y=X^2$，$Z=(1,X{)}^{\mathsf{T}}$，则 ${\beta }^{\ast }=(1/3,0)$。最佳直线为常数1/3，而真实条件均值仍是抛物线。

把 $Y=1/3+(X^2-1/3)$ 代入可见，截距残差的方差为 $E{X}^4-(E{X}^2{)}^2=1/5-1/9=4/45$。工作直线的抽样标准误可以估计，但不会让曲线逼近误差消失。若输入分布改变，最佳投影还可能改变，因此应说明相对于哪一个人群定义目标。

对标量目标，误差可恒等分解为

三项依次是计算误差、围绕准则目标的抽样误差，以及目标差异。它们不是三个可随意相加的标准差，也不自动独立。若最后一项为固定非零值，前两项随样本量消失后，围绕 ${\tilde{\theta }}_n$ 收缩的普通区间一般不会覆盖 $g(Q)$。

似然模型正确且可识别时，KL 非负性使真参数成为目标；模型错配时仍须检查工作目标的存在、唯一、分离和矩条件。sandwich 的稳健性是对某些方差模型限制的放宽，不是对任何错配都有效的万能修复。

自测与答案 ​

1. 把离散 Huber 例的污染位置10换为100，$c=1$不变，目标如何变化？答案：仍为 $1/9$，因为该位置在解附近一直处于得分截断区；平方损失目标则从1变为10。
2. 若工作参数空间为 $\mathrm{\Theta }=(0,1)$，$Q$ 的均值为2，使用平方损失，是否存在伪真参数？答案：不存在，最小值仅在被排除的边界1处逼近。不能仅凭严格凸性声称 argmin 存在。