“若许多单调判定都依赖同一份更新历史，批量二分把各自中点按日期分桶，每轮只从初态顺扫重放一次。每条查询仍维持本页的首真边界；共享的是昂贵的判定状态，不是用离线条件替代单调性，也不要求多处理器。”
形式陈述
每个问题有自己的答案日期
给定初始整数数组A[0..n)，以及按日期1,…,M排列的点增量(iₜ,δₜ)，其中δₜ≥0。Aₜ表示应用前t条更新后的数组，A₀为初态。每个查询j给半开区间[lⱼ,rⱼ)和阈值gⱼ，要求最小日期
集合为空时返回“不存在”。初始元素和阈值允许为负；保证单调的是此后每次增量非负。查询与全部更新在计算前已知。
各查询的判定Pⱼ(t)先假后真，因此可单独做二分查找。批量二分保留这些独立的分界区间，却把同一轮中点按日期分组，用一遍更新重放同时完成这一轮所有判定。[1, Solution与Implementation；2, PDF pp.6–12]
英文“parallel”在此指多条二分过程按轮一起推进；单线程程序就能执行，不承诺使用多个处理器，也不把它与并行机器模型中的有序查找混为一谈。
直觉
真正昂贵的是把状态恢复到某一天
若每个查询单独二分，每试一个日期都从A₀重做前缀更新，就会反复建立相同状态。把一轮所有中点排序后，只需从日期0向前走：到日期t时，回答所有中点恰为t的查询，然后继续更新。
附件用树状数组维护点增量与区间和。日期是0,…,M的连续整数，可直接开M+1个桶，无须每轮排序所有中点。桶里存查询编号，而不是把查询内容复制M份。
虚拟边界不访问不存在的状态
每个查询保存lo=-1、hi=M+1，约定虚拟P(-1)=假、P(M+1)=真。真实状态只定义在0,…,M。只要hi−lo>1，就取mid=floor((lo+hi)/2)，它必在真实范围内；若P(mid)真则hi=mid，否则lo=mid。
对每条查询独立保持“不超过lo的真实日期全假，从hi起的真实日期全真”。单调性保证更新边界后仍成立；区间缩小保证终止。结束时hi是第一个真日期，若hi=M+1则所有真实日期全假，返回不存在。哨兵是边界约定，不需要真的生成第M+1天。
一轮的状态不变量
每轮先从A₀重新线性建立树状数组。先处理日期0的桶，再依次应用第1、2、…条更新；应用第t条后处理日期t的桶。于是处理每个桶时，结构恰表示Aₜ，其中每条前缀更新已执行一次，之后的更新尚未执行。
同一桶里的查询只读取状态，不改变数组，所以处理顺序不影响彼此。算出的真假与分别重放至mid再判定完全一致；共享重放只节省重复工作，不改变任何一条二分的逻辑。
例子与边界
三轮找出不同的首次日期
取A₀=[0,0,0,0]，六条更新依次为(1,+2)、(3,+3)、(0,+1)、(2,+4)、(1,+0)、(3,+2)。查询0问[0,2)的和何时至少3；查询1问[2,4)何时至少5。初始边界都为(-1,7)。
| 轮次 | 查询0的中点、区间和、更新后边界 | 查询1的中点、区间和、更新后边界 |
|---|---|---|
| 1 | t=3，和3，(-1,3) | t=3，和3，(3,7) |
| 2 | t=1，和2，(1,3) | t=5，和7，(3,5) |
| 3 | t=2，和2，(2,3) | t=4，和7，(3,4) |
答案分别为3和4。第二轮不是为两个查询各重放一次，而是在同一遍顺扫中先处理日期1的桶，再处理日期5的桶。
若增加查询2：“全数组和至少0”，答案是0，第三轮会真的检查日期0。再问[1,3)至少7、[0,1)至少2、空区间[2,2)至少1，答案均不存在。完整六查询的最终边界为lo=[2,3,−1,6,6,6]、hi=[3,4,0,7,7,7]。
日期零与空更新序列
日期0的桶必须在第一条更新之前回答，否则可能把首次日期错记成0。M=0时初始间隔(-1,1)的中点就是0，一次判定便区分初态已满足和永不满足。空区间的和恒为零：阈值≤0时答案0，阈值>0时不存在。
n=0时只允许空区间，不能有带合法位置的点更新；仍能回答这些恒定谓词。q=0时无须任何二分轮次，输入校验仍需要读取给定数据。
离线并不能补回丢失的单调性
单元素初态0，四条增量为+5、−5、0、0，阈值为3。真实谓词依次是假、真、假、假、假。第一轮mid=2得到假，二分将lo改成2，已经排除了真正首次满足的日期1，最终可能返回不存在。
因此本页接口直接拒绝负增量。某个允许负更新的特殊查询若还能另行证明P(t)单调，可以设计相应批量判定器；但“所有输入已知”本身不是这个证明。各查询的区间也固定不变，不能一边二分一边按前次结果偷偷改动l、r。
推论与应用
每轮建立和重放都要收费
设q个查询。一次轮次建立初始树需O(n)，清空桶并分配中点O(M+q)，顺扫M条更新和至多q次区间判定需O((M+q)log(n+1))，还要计各操作自身的常数工作。区间长度M+2每轮至少近似减半，至多⌈log₂(M+2)⌉轮，故总上界为
公式保留每轮n项，不能把“清空数据结构”当作免费。空间为O(1+n+M+q)：初始数组、当前树、输入更新、边界及桶；每个未决查询在当前轮只进入一个桶。保存全部判定日志会另占O(q log(M+2))。
样例六查询运行三轮，附件每轮完整重放六条更新，共18次更新和18次谓词判定，重新建立初态数组共读取12个单元。可以只扫到该轮最大非空桶，但这只是实现优化，不能把未采用的优化拿来解释当前运行次数。
以上假设下标、数值和累积和均可装入常数个机器字。Python任意精度整数避免定宽溢出，却不能免除大数加减的位成本。附件 audit=True 每个日期重建朴素数组核对状态，是测试模式，超出该核心复杂度。
与其他离线方法的分工
离线动态连通按边的生效寿命进入时间线段树，并借回滚在兄弟分支间恢复状态；这里每轮从相同初态向前重放，不维护分支历史。CDQ三维支配统计则把全部更新—查询贡献分配到唯一分治结点，允许正负权，不要求“随日期只会由假变真”。
在批量查询终结任务中，先证明每个查询的单调性，再交三轮桶记录与最终首次日期。若只有独立二分的中点而没有共享状态的重放不变量，就还没有完成本算法的核心工作。