van Lambalgen 定理

各看一条序列时都没有可发现规律，并不排除二者之间藏着完全可预测的关系。联合随机还要求：把第一条全部交给检验者之后，第二条仍无法被有效零测检验捕获。

这里的“独立”被转成对具体两条无限序列的有效检验条件。概率论中的独立性通常是随机变量分布的性质；定理不是通过观察一对有限样本来检验某个物理发生器独立。

边际都随机，却每一对比特相同 ​

取任意 Martin-Löf 随机 $X$，令 $Y=X$。两边单独都随机，但交错后每对相邻比特相同。令 $U_n$ 限定前 $n$ 对都相同；它由 $2^n$ 个长 $2n$ 柱集组成，故

$X\oplus X$ 在每层里，因而不随机。右侧条件也同时失败：以 $X$ 为 oracle，前缀检验立即捕获 $Y=X$。

从联合检验抽取相对检验 ​

假设 $X\oplus Y$ 被有效开集 $V_n$ 捕获，取预算 $\mu (V_n)\le 2^{-2n}$。对固定 $Z$，记截面 $V_n^Z=\{W:Z\oplus W\in V_n\}$，并定义

有限矩形的截面质量可算，所以严格越过阈值的 $E_n$ 有效开。Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。允许积分非负截面质量，给 $\mu (E_n)\le 2^{-n}$。对尾并 $\bigcup _{n\ge k+1}{E}_n$ 使用并集界公理库并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。，就得到一个检验，说明随机的 $X$ 只能落入有限多个 $E_n$。

因此从某个 $N$ 开始，$\mu (V_n^X)\le 2^{-n}$。截面由 oracle $X$ 有效枚举，适当移位后组成 $X$-检验；它每层都包含 $Y$。于是若 $X$ 随机，$Y$ 必不相对于 $X$ 随机。关键不只是 Fubini 积分，还包括异常大截面的有效预算控制。

反方向要统一 oracle 预算 ​

若 $X$ 本身失败于普通检验，把每层乘以整个第二空间即可捕获联合序列。若 $Y$ 失败于 $X$-检验，则把 oracle 枚举写成有限前缀矩形，并进行逐 oracle 的有限阶段预算截断：每次只有在该 oracle 分支的已接受柱集并仍不超预算时才接受输出。

有限阶段只涉及有限个 oracle 位，可分成有限多个 oracle 柱集逐一检查。若原程序在真实 $X$ 上预算合法，其输出不会被截断；其他 oracle 则被统一限制。所得积空间开集每个截面质量都不超预算，积分后总质量同样不超预算，于是捕获 $X\oplus Y$。这一步解释为何“只在真实 oracle 上合法”的检验也能转成合法联合检验。

联合随机的两半 Turing 不可比较：若 $Y{\le }_{T}X$，就不可能有 $Y\in {\mathrm{MLR}}^X$；反向同理。它给出从一条随机序列的奇偶分拆提取两份彼此不能计算的信息的方法。

不能直接把定理中的随机性换成 可计算随机性公理库可计算随机性Computable randomness以全可计算非负公平赌徒定义随机性，逐步计算一种押注策略，并说明无界资本和可计算致富速度的差别。或 Schnorr 随机性公理库Schnorr 随机性Schnorr randomness在有效开检验之外要求层测度统一可计算，明确这一预算信息如何改变随机性而不改变有限观察的局限。，并照搬标准 oracle 定义下的完整等价式；这些概念的对应方向会失败。[1, §12] 证明中的预算统一与测度有效性正是需要重新检查之处。