承诺方案

承诺像把消息放进只能稍后打开的保险箱：隐藏性防接收者提前得知内容，绑定性防发送者事后改口。两项性质面对不同攻击者，也使用不同实验；“承诺看起来随机”与“目前找不到第二种打开”都不能替代量词化定义。

在上面的非交互接口中，若至少允许两条不同的合法等长消息且完美正确，就不能同时完美隐藏与完美绑定。固定同一公开参数，完美隐藏让两条消息产生相同承诺分布；任取其中一个正概率承诺，两条消息都存在能产生它的随机选择，正确性便给出两种合法打开。计算绑定正是把“不存在”改成“高效对手找不到”。

哈希承诺可写成 $c=H(\mathrm{encode}(r,m))$，开放时公布 $(r,m)$。足够长的随机盐 $r$ 可阻止低熵消息被直接枚举，抗碰撞或适当的第二原像性质帮助绑定；但结论依赖具体哈希模型。编码若有歧义，同一字符串可能解析为不同 $(r,m)$；随机性复用、盐太短或参数后门也会破坏安全。

十一个群元素上的承诺与打开 ​

取模 $23$ 乘法群中由 $g=2$ 生成的 $11$ 阶子群

它不是整个 $22$ 阶非零剩余类群。为观察陷门作用，显式选 $\alpha =7$，于是 $h=2^{7}mod23=13$。消息与随机数取 $(m,r)=(4,3)$，则

验证器收到 $(4,3)$，重复这次计算便接受。若接收者尚未拿到打开，承诺如何隐藏消息？把随机数 $r=0,\dots ,10$ 全部列出：

两行顺序不同，每个群元素却恰出现一次。均匀随机数使任何承诺值的概率都是 $1/11$；即使知道 $\alpha =7$，也无法由这份分布区分消息 $4$ 与 $9$。下面会把这个排列观察证明为任意素数阶群上的双射结论。

知道陷门，怎样保持承诺却改变打开 ​

持有一次打开 $(m,r)$ 和非零 $\alpha$ 时，对目标消息 $m^{\prime }$ 令

那么 $m^{\prime }+\alpha r^{\prime }=m+\alpha r$，故 $g^{m^{\prime }}{h}^{r^{\prime }}=g^m{h}^r$。本例 $7^{-1}=8(\mathrm{mod}11)$，改为 $m^{\prime }=9$ 得

同一个 $c=8$ 因而有 $(4,3)$ 与 $(9,7)$ 两种合法打开。反过来，仅由这两对数，就能恢复

这十一个幂可以直接枚举，因此小例检验的是代数、隐藏分布和陷门机制。计算绑定需要随安全参数增长的困难群族。另一个细节是，改变打开的公式要求已知一次打开；仅知道 $\alpha$，并不自动给出任意外来承诺 $c$ 的初始打开。

编码、随机数与参数各有边界 ​

消息按模 $q$ 解释。本例整数 $4$ 和 $15$ 用相同随机数产生同一承诺，因为它们表示同一个 ${\mathbb{Z}}_{11}$ 元素。若业务需要对普通整数绑定，就必须先限制范围并单射编码；余额是否非负、相加是否溢出并不由群等式证明。

若发送方自行选 $h=g^{\alpha }$ 并保留 $\alpha$，就能执行上面的改变打开攻击。验证 $h$ 是合法非单位元只能检查代数条件，不能证明无人知道离散对数关系。参数生成和陷门持有者因此必须与绑定实验一致。

隐藏证明也要求每次使用独立均匀随机数。复用同一个 $r$ 时，两个承诺之比为 $c_1{c}_2^{-1}=g^{m_1-m_2}$；若消息差只取少量可能值，接收者可以枚举辨别它。单个承诺的完美隐藏不会自动保证相关随机数下的联合隐藏。

承诺不等于加密：接收者通常不持有解密密钥，协议目标是“先固定、后揭示”。它也不自动满足不可延展性；Pedersen 的同态等式

在模 $q$ 中成立，所以任何人都能把 $c$ 变成 $gc$，产生消息加一的相关承诺。构造相关承诺和对同一个承诺找到两条不同打开，是两种攻击任务。

多项式承诺公理库多项式承诺Polynomial commitment · KZG commitment · Kate–Zaverucha–Goldberg commitment以 KZG 构造将多项式压缩为一个群元素，用商多项式证明单点取值，并由 d-SDH 推出逐点求值绑定性。把“打开整个消息”改成“证明某个点的取值”。基本确定性 KZG 将 $f$ 编码为 $g^{f(\tau )}$，并在 $d$-SDH 假设下阻止同一个承诺在同一个点被打开为两个不同的值；常数多项式 $0$ 与 $1$ 的承诺却分别是 $1$ 与 $g$，可以完全区分。这个例子说明：名称中含有“承诺”，并不意味着未经随机化的版本同时满足本页的选择消息隐藏实验；求值绑定也需要按它自己的打开接口陈述。

完美隐藏：固定参数下的均匀双射 ​

$G$ 的阶为素数且 $h\ne 1$，所以 $h$ 也生成整个群。映射 $r\mapsto h^r$ 从 ${\mathbb{Z}}_q$ 到 $G$ 是双射，再乘固定的 $g^m$ 仍是双射。因此对每个 $u\in G$、每条消息 $m$，

两条候选消息在每个合法 $pp$ 下产生相同分布，连同公开参数交给观察者仍相同。这证明完美隐藏。若进一步公开 $\alpha \ne 0$，指数 $m+\alpha r$ 仍均匀；隐藏不依赖离散对数困难性，依赖的是这次均匀随机化。

计算绑定：两次打开给出一个离散对数算法 ​

假设对手给出两个合法打开，满足

整理等式得到 $g^{m-m^{\prime }}=h^{r^{\prime }-r}=g^{\alpha (r^{\prime }-r)}$。若 $r^{\prime }=r$，就有 $g^{m-m^{\prime }}=1$，与 $m\ne m^{\prime }$ 矛盾。因此 $r^{\prime }-r$ 是非零域元素，可以求逆：

归约算法收到随机非单位元离散对数挑战 $(G,q,g,h)$ 后，把它原样作为公开参数交给绑定对手。若对手成功，验证两份打开并按上式输出 $\alpha$；失败时报告失败。对手看到的参数分布与真实绑定实验完全相同，每次绑定成功都转成正确的离散对数解，成功概率没有损失。额外工作只有验证、模减法和一次求逆。

这用的是离散对数假设，不必引入更强的CDH公理库计算 Diffie–Hellman 假设Computational Diffie–Hellman assumption · CDH assumption在参数化循环群族中，由随机群幂高效计算共享群元素 g^(ab) 的成功概率可忽略。或DDH公理库判定 Diffie–Hellman 假设Decisional Diffie–Hellman assumption · DDH assumption随机 Diffie–Hellman 三元组与以独立随机群元素结尾的三元组对高效判别器不可区分。假设。计算无界者仍可枚举出 $\alpha$，再构造不同打开；与完美隐藏并存的正是计算绑定，而不是完美绑定。

终点自测：先从两行承诺排列解释隐藏，再从 $(4,3)$ 与 $(9,7)$ 恢复 $\alpha =7$；最后说明为什么 $h=1$、重复随机数、整数编码不取模和发送方保留陷门分别破坏了哪一步条件。

承诺用于零知识、抛硬币、安全多方计算、拍卖和区块链协议。抗碰撞性公理库抗碰撞性Collision resistance攻击者公开选择两个不同输入仍难以找到同摘要；解释生日尺度、目标消息差异和序列化歧义。与群困难假设可实现不同承诺，零知识证明公理库零知识证明Zero-knowledge proof证明者使验证者相信陈述为真而不泄露额外知识的交互证明。常用承诺固定挑战前的选择；coin flipping、MPC 与 Sigma 协议公理库Sigma 协议Sigma protocol · Σ-protocol具有首消息—随机挑战—响应三步结构，并满足特殊可靠性与诚实验证者零知识的公开币协议。编译都依赖“先锁定、后揭示”的时序。