正则边值谱：先证明完整，再认证第几个根 ​

这份练习的对象是一个无限维微分算子。交卷需要区分三件事：解析证明负责谱的完整性与编号，有限计算负责指定符号和误差，图像负责展示结构。把某次离散化的特征值打印出来，不能独自完成前两件事。

最短入口与可选分支 ​

核心两站是正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱理路正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱Regular Sturm–Liouville spectrum · 正则分离边界 Sturm–Liouville 算子在加权 L² 与准确 H² 定义域上证明一般分离实边界的自伴性、紧预解和完整简单谱，并保留 Robin 负谱与零模态。 → Prüfer 相角、振荡与谱计数理路Prüfer 相角、振荡与谱计数Prüfer phase and Sturm oscillation · Continuous Sturm eigenvalue count · Sturm–Liouville shooting certificate连续提升左端相角，证明参数严格单调、负无穷基准和零点编号，再以误差包围认证开闭谱计数及唯一 shooting 根。。第一站证明准确算子定义域、自伴性、紧预解及完整简单谱；第二站将相角的连续圈数变成全局编号，再说明近似解需要怎样的证书。

如果尚未建立工具，可按需补端点迹与 Sobolev 空间理路Sobolev 空间Sobolev space同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。、线性 ODE 初值传播理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。、Hilbert 伴随理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。及紧自伴谱定理理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。。已有Dirichlet Green 算子理路区间 Dirichlet Green 算子Dirichlet Green operator on an interval · 区间零边界Green积分算子用正核min(x,t)−xt构造−d²/dx²的零边界逆，证明正则性与全谱，并把共振积分方程准确转为边值问题。是正定零边界的入口；本题新增权、变系数、负谱、零模态与 Robin 边界。

另一条入口从有限矩阵的移位惯性计数理路移位惯性与特征值区间计数Shifted inertia eigenvalue count · Sturm count for symmetric tridiagonal matrices把对称矩阵的移位惯性变成严格或闭区间谱计数，以有理 LDL 和二阶主元给出不依赖近似根的区间证书。出发，先问“这个计数针对哪个对象”，再进入连续相角与下文 Robin 迁移。有限矩阵的精确计数仍然有效，但需要额外的连续误差证明才能成为微分算子的计数。

复算一：在正确空间中穷尽负、零、正谱 ​

在 $[0,e-1]$ 令

$$p=1+x,w=(1+x{)}^{-1},q=-{\pi }^{2}w,Au=w^{-1}\{-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu\},$$$$H=L^2((0,e-1),wdx),D(A)=\{u\in H^2(0,e-1):p{u}^{\prime }(0)=p{u}^{\prime }(e-1)=0\}.$$

任务是求出全部特征值、规范基、定义域的系数条件，并判断 $Au=e_0$ 和 $Au=e_1$ 能否求解。

置 $t=\log (1+x)$、$v(t)=u(e^t-1)$。由于 $wdx=dt$，这是真正的酉换元；又有 $p{u}^{\prime }=v^{\prime }$、$(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }=e^{-t}{v}^{″}$，所以

$$Au⟷-v^{″}-{\pi }^{2}v,v^{\prime }(0)=v^{\prime }(1)=0.$$

两向换元光滑且导数在闭区间有界，因而保存 $H^2$ 与上述端点域。设 $s=\lambda +{\pi }^2$。$s<0$ 的左端解为 $\cosh \left(\sqrt{-s}t\right)$，其右导数非零；$s=0$ 给常数；$s=k^2>0$ 给 $\cos kt$，右导数为零要求 $k=n\pi$。因此没有遗漏其他候选，全部答案为

$${\lambda }_n=(n^2-1){\pi }^2(n\ge 0),e_0=1,e_n(x)=\sqrt{2}\cos (n\pi \log (1+x))(n\ge 1).$$

正交归一性由 ${\int }_0^1\cos \left(n\pi t\right)\cos \left(m\pi t\right)dt$ 计算，完备性则由前页的紧预解定理与这次 ODE 穷尽共同推出。检查任意有限 Gram 矩阵仍不能取代完备性证明。

本题二次型非负边界且 $q/w=-{\pi }^2$，所以 $A\ge -{\pi }^{2}I$。可取 $\eta =-{\pi }^2-1$；准确系数域是

$$u=\sum c_n{e}_n\in D(A)⟺\sum _{n\ge 0}(n^2{\pi }^2+1{)}^2|c_n{|}^2<\mathrm{\infty }.$$

因此 $Au=e_0$ 的全部解是 $-e_0/{\pi }^2+c{e}_1$，而 $Au=e_1$ 无解：自伴性给 $⟨e_1,Au{⟩}_w=⟨A{e}_1,u{⟩}_w=0$，右端却要求它等于一。不能因为谱向正无穷排列，就把零模态从可解性条件中删掉。

权也可以验错。如果误用 $dx$，则

$${\int }_0^{e-1}{e}_0{e}_{1}dx=\sqrt{2}{\int }_0^1{e}^t\cos \pi tdt=-\frac{\sqrt{2}(e+1)}{1+{\pi }^2}\ne 0.$$

规范基必须对所定义的 Hilbert 空间正交，而不是对任意选定的积分测度正交。

复算二：在等号处区分开闭计数 ​

令 $\theta$ 是规范左解 $(u,p{u}^{\prime })=(1,0)$ 出发的连续相角，$\theta (0;\lambda )=\pi /2$。两端 Neumann 给阈值 $\pi /2+n\pi$，故

$$s(\lambda )=\frac{\theta (e-1;\lambda )}{\pi }-\frac{1}{2},N_{<}(\lambda )=\lceil s(\lambda )\rceil ,N_{\le }(\lambda )=\lfloor s(\lambda )\rfloor +1.$$

复算答案是 $N_{<}(0)=1,N_{\le }(0)=2$，$N_{<}(-{\pi }^2)=0,N_{\le }(-{\pi }^2)=1$。由此

$$\mathrm{\#}(\sigma (A)\cap (-{\pi }^2,0))=0,\mathrm{\#}(\sigma (A)\cap [-{\pi }^2,0])=2,$$

而两个半开区间各有一个谱点。式子里的端点选择是数学对象的一部分，不能用统一的“减去两个计数”含混处理。

在 $\lambda =-{\pi }^2$，$u=1,p{u}^{\prime }=0,\rho =1$，因而参数导数公式给

$${\partial }_{\lambda }\theta (e-1;-{\pi }^2)={\int }_0^{e-1}wdx=1.$$

但相角对空间变量此时恒定。这同时检验“参数严格单调”与“空间相角总递增”是不同说法。

还要检查一个失败例。在 $\lambda =1$，左端解是 $\cos \left(\sqrt{{\pi }^2+1}t\right)$，只有一个内部零点，但 $-{\pi }^2$ 与 $0$ 都小于一，所以 $N_{<}(1)=2$。一般 Neumann 或 Robin 问题不能直接把内部零点数当成严格谱计数；第 $n$ 个特征函数恰有 $n$ 个内部零点，与任意非谱参数的左解计数不是同一命题。

迁移：把右端改成 Robin ​

保留系数与左端 Neumann，将右端改成 $p{u}^{\prime }+u=0$。现在 $\beta =3\pi /4$，在 $t$ 坐标中为 $v^{\prime }(1)+v(1)=0$。请重新求全分支、符号分布、规范化和前三个根的证书。

若 $s=\lambda +{\pi }^2<0$，右残差是 $\kappa \sinh \kappa +\cosh \kappa >0$；$s=0$ 时残差为一。因此只有 $s=k^2>0$ 需要处理，方程为

$$\cos k-k\sin k=0⟺k\tan k=1.$$

等价式先排除了 $\cos k=0$，因为原残差在那里非零。在每个

$$I_n=(n\pi ,n\pi +\pi /2),n=0,1,\dots ,$$

$k\tan k$ 从零严格增加到无穷，其导数 $\tan k+k{\sec }^{2}k>0$。另外半周期 $\tan k<0$，端点也不是根。因此每个 $I_n$ 恰有一个根 $k_n$，并且已穷尽全部根。

答案为 ${\lambda }_n^{\mathrm{R}}=k_n^2-{\pi }^2$，规范化为

$$e_n^{\mathrm{R}}(x)=\frac{\cos (k_n\log (1+x))}{\{1/2+\sin \left(2k_n\right)/(4k_n){\}}^{1/2}}.$$

分母平方正是 ${\int }_0^1{\cos }^2(k_{n}t)dt>0$。不同根的正交性可由 Green 恒等式直接推出：两端边界型为零，所以 $(k_n^2-k_m^2){\int }_0^1\cos \left(k_{n}t\right)\cos \left(k_{m}t\right)dt=0$。这不是整数频率余弦积分的套用。

由于 $k_0<\pi /2<\pi <k_1$，恰有一个负特征值；$k=\pi$ 不满足残差，故零已不在谱中。对于 $k_n\in I_n$，$\cos \left(k_{n}t\right)$ 在 $(0,1)$ 的零点为 $t=(j+1/2)\pi /k_n$、$j=0,\dots ,n-1$，数量恰为 $n$，与振荡定理一致。

有理端点如何成为根证书 ​

令 $R(k)=k\sin k-\cos k$。标准库复算器将带余项的 Taylor 多项式全部作为有理数计算，得到

$$k_0\in (43/50,861/1000),k_1\in (137/40,1713/500),k_2\in (6437/1000,3219/500).$$

它分别认证区间完全属于 $I_n$，以及 $(-1{)}^{n}R$ 左负右正。因为在此分支 $(-1{)}^n\cos k>0$，这个残差与 $k\tan k-1$ 同号。解析单调性承担唯一性和编号，精确符号承担存在性和包围；二者缺一不可。

具体地，正弦截到 $2m+1$ 次、余弦截到 $2m$ 次，各用全局 Lagrange 界

$$|r_s|\le |k{|}^{2m+2}/(2m+2)!,|r_c|\le |k{|}^{2m+1}/(2m+1)!.$$

因此若 $\sin k\in [S_{-},S_{+}]$、$\cos k\in [C_{-},C_{+}]$，$k>0$ 时有

$$R(k)\in [k{S}_{-}-C_{+},k{S}_{+}-C_{-}].$$

区间跨零就报告未判定；不能把 Taylor 中心值的符号冒充证书。

程序还用 Machin 公式求 $\pi$ 的有理包围。设 $a=\arctan \left(1/5\right),b=\arctan \left(1/239\right)$，二倍角两次给 $\tan 4a=120/119$，所以 $\tan (4a-b)=1$。又 $0<4a-b<4/5<\pi /2$：下界可由 $a>1/5-(1/5{)}^3/3$、$b<1/239$ 验证，上界由 $a<1/5,b>0$。故 $4a-b=\pi /4$，即 $\pi =16a-4b$。反正切交错级数的首个遗漏项给上下界，既有代数恒等式，也已确定正确分支。

若 $\pi \in (P_{-},P_{+})$、$k_n\in (l,r)$，全有理特征值外包围为

$${\lambda }_n^{\mathrm{R}}\in (l^2-P_{+}^2,r^2-P_{-}^2).$$

二分只在新中点的严格符号被认证后更新；不能判号就保留原包围，明确报告完成了多少步。十进制端点用整数向外舍入，因此显示精度也不会把外包围缩进真实区间。

迁移二：从带缺陷的相角获得计数 ​

一般系数没有上述显式余弦解。设绝对连续近似 $\hat{\theta }$ 满足初值误差 ${\epsilon }_0$、已认证缺陷上界 $r\ge 0$，并置

$$L(x)=|\lambda w-q-p^{-1}|,E=\exp \left({\int }_a^{b}L\right)({\epsilon }_0+{\int }_a^{b}r).$$

Grönwall 估计理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。保证 $\theta (b)\in \mathrm{\Theta }=[\hat{\theta }(b)-E,\hat{\theta }(b)+E]$。任务是判断下面三份已经验证的归一化包围能说明什么。这里 $\beta /\pi =1/2$：

• $\mathrm{\Theta }/\pi =[7/4,9/4]$ 完全位于 $3/2$ 与 $5/2$ 之间，故 $N_{<}=N_{\le }=2$
• $\mathrm{\Theta }/\pi =[149/100,151/100]$ 跨过 $3/2$，不能区分参数位于第二个谱点左边、正好等于它还是右边
• 即使给 $\mathrm{\Theta }/\pi =[3/2,3/2]$，本程序的通用区间接口仍保守报告未判定；要声称精确谱点，须另外提交等式来源。本题的显式 Neumann 模型可以用精确频率完成它

这些包围是条件输入，不是程序自己算出的 ODE 误差。本复算器没有验证任意外部求解器的缺陷、系数包围或指数运算。如果在参数 $c<d$ 的两份有效包围之间夹住阈值 $\beta +n\pi$，即 $sup\mathrm{\Theta }(c)<\beta +n\pi <inf\mathrm{\Theta }(d)$，连续性与严格参数单调性才给唯一 ${\lambda }_n\in (c,d)$。

边界题：哪一步会给出错误答案 ​

1. 将谱点 $s=1$ 打印成 $1+{10}^{-12}$ 后取上整，会将严格计数从一改成二；打印成 $1-{10}^{-12}$ 后取下整加一，会将闭计数从二改成一。更多显示位数不是等号证书
2. 对 Neumann 残差 $-k\sin k$，$(\pi /2,5\pi /2)$ 两端同为负，内部却有 $\pi ,2\pi$ 两个根。同号不能证明没有根，异号也不能单独证明唯一
3. 在 $[0,1]$ 取 $p=w=1,q=0$、两端 $u^{\prime }=u$，则 $u=e^x$ 给特征值 $-1$。$q\ge 0$ 不足以排除负 Robin 谱
4. 取 $p=1,q=w=2$、两端 Neumann，常数模态的特征值是一。势能下界应为 $min(q/w)$，不能漏掉权写成 $minq=2$
5. 周期边界会产生重特征值；$p$ 在端点为零会离开正则假设；变号权不能定义本文的 Hilbert 范数。上述完整简单谱定理不能不改证明就用于这些问题

一个只做有限认证的程序 ​

下载 Python 标准库复算器。运行 python3 foundations-sturm-liouville-probes.py 可得到精确 $\pi$ 包围、零参数的严格与闭计数以及三个 Robin 根的有理证书。

• --refine 12：在已认证初始区间内尝试十二次符号二分，逐根报告实际完成步数和向外舍入的特征值区间
• --nn-cut 3：把切点设为 $3{\pi }^2$，返回 strict=2、closed=3、equal_index=2；输入支持有理数，例如 --nn-cut 1/2
• --phase-box 7/4 9/4：检查一份外部已认证的相角包围；--beta 3/4 可改右端 Robin 阈值，数值均以 $\pi$ 为单位
• --phase-box 149/100 151/100：必须报告未判定；--terms 1 会让高频 Robin 的 Taylor 符号认证也失败，程序不静默猜测
• --self-test：复核有限恒等式、分支与根符号、开闭端点、保守未判定和非法输入；Python 的优化模式也不删除这些显式测试

程序输出中的 certified 表示当前有理区间和指定计数已通过精确运算；undecided 则保留原包围，不作猜测。

参考与交卷检查 ​

主来源是 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems 作者公开初稿，§§5.3–5.5，印刷页153–170。两篇概念页给出准确式号与本文补全的定义域证明，并明确修正该稿一般权下的势能下界、负无穷上解及严格计数端点显示式。上述答案采用本文独立证明后的条件和公式。

交卷应包含：加权酉换元与全部谱；正确的 $H^2$ 系数域；负、零谱对可解性的影响；四类开闭区间的准确计数；Robin 所有分支与规范化；有理根包围及唯一编号；以及一份必须拒绝判定的相角区间。每个计算都应说清对象、空间、端点和证书承担的范围。