区间 Dirichlet Green 算子

对 $-y^{″}=f$ 积分两次，可以得到很多相差一次函数的解。两个零端点恰好确定这两个积分常数。$G(x,t)$ 把这件事预先对每个源点 $t$ 做完：它在两个端点为零，在 $x=t$ 连续，斜率从 $1-t$ 降到 $-t$，跳跃为 $-1$，对应 $-G^{″}={\delta }_t$。

每一个正弦方向都被 $T$ 缩小，频率越高缩得越多。这种高频压缩解释紧性；压缩因子与 $n^2$ 成反比，则来自二阶微分对正弦的作用。

先把正则性和符号算清楚 ​

拆开积分，令

因为区间有限且 $f\in L^2\subset L^1$，$A,B$ 绝对连续理路绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。。求导时中间两项恰好抵消：

$A,B$ 连续，所以 $y^{\prime }$ 连续；$y^{\prime }$ 又绝对连续且导数属于 $L^2$。$y,y^{\prime }$ 在紧区间有界，故都属于 $L^2$，由此 $y\in H^2$。直接代入端点得到 $y(0)=y(1)=0$。

若 $f$ 连续，上式使 $y^{″}$ 连续，因而是经典解。两个解之差满足 $w^{″}=0$ 几乎处处；$w^{\prime }$ 绝对连续使它恒定，$w$ 为一次函数，两个零端点再使 $w=0$。反过来，任何上述正则性的零端点解都必须等于 $Tf$。

再证明紧、自伴与正 ​

$G$ 连续且实对称，故核积分算子定理理路平方可积核积分算子Square-integrable kernel operator · Hilbert–Schmidt integral operator · 平方可积积分核从核的平方积分建立有界与紧性，通过共轭转置核判定自伴，并区分积分核、算子零空间与逐点评价。给紧性与自伴性。也可以复算一个直接界：

所以先有 $\Vert T\Vert \le 1/\sqrt{90}$，精确范数要由谱计算得到；两个常数并不相同。

写 $y=Tf$，零端点分部积分给

若等号成立，$y^{\prime }=0$，零端点使 $y=0$，再由 $f=-y^{″}$ 得 $f=0$。因此对每个非零 $f$，这个内积严格为正；$T$ 也单射。但不存在统一 $c>0$ 使它总大于等于 $c\Vert f{\Vert }^2$，因为后面的特征值趋零。

把特征方程变成一个可解的ODE ​

设 $Tf=\mu f$、$f\ne 0$。单射排除 $\mu =0$，正性与自伴性给 $\mu >0$。积分正则性使 $f\in H^2\cap H_0^1$，并满足

由于 $f$ 连续，右边连续，$f$ 实际上是经典解。令 $\omega ={\mu }^{-1/2}>0$，由常系数线性方程理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。，$f(x)=a\cos \omega x+b\sin \omega x$。$f(0)=0$ 使 $a=0$，$f(1)=0$ 与 $b\ne 0$ 使 $\omega =n\pi$。所以只有 $\mu =1/(n\pi {)}^2$，每个特征空间一维。

反向核验不能省略：$y=\sin \left(n\pi x\right)/(n\pi {)}^2$ 的确满足 $-y^{″}=\sin \left(n\pi x\right)$ 与零端点，由刚才的唯一性可知它正是 $T\sin \left(n\pi x\right)$。又有 ${\int }_0^1{\sin }^2(n\pi x)dx=1/2$，所以归一化因子为 $\sqrt{2}$。

仅解ODE还不等于证明这些方向覆盖全部输入。紧自伴谱定理理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。给非零特征方向加核的完备分解，而本算子的核为零，才推出整个 $L^2$ 的正弦基。这里没有预先假定正弦完备来反过来证明自身。

常数体源检验 ​

令 $f=1$，直接积分得

它的二阶导数为 $-1$，两个端点为零，中心值为 $1/8$。这个数不同于中点单位点源的峰高 $G(1/2,1/2)=1/4$：常数体源与 Dirac 点源是不同右端，不能混用。

相同形式，更换范数后结论会变 ​

将 $T$ 看成 $L^2\to L^2$，它紧；将它看成 $L^2\to H^2$，它有界但不紧。事实上以 $e_n=\sqrt{2}\sin \left(n\pi x\right)$ 为输入，输出 $y_n={\mu }_n{e}_n$ 的二阶导数为 $-e_n$，故任意 $m\ne n$ 都有 $\Vert y_n-y_m{\Vert }_{H^2}\ge \sqrt{2}$。

有界性则由积分表示给 $\Vert y{\Vert }_2\le \Vert G{\Vert }_2\Vert f{\Vert }_2$、$\Vert y^{\prime }{\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2$ 和 $\Vert y^{″}{\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2$；中间一式可将 $y^{\prime }(x)={\int }_0^1({\mathbf{1}}_{\{x<t\}}-t)f(t)dt$ 用 Cauchy–Schwarz 估计。紧性总要连同定义域、值域和范数一起陈述。

积分方程与边值问题的准确桥梁 ​

给定 $f\in L^2$、$\lambda \in \mathbb{C}$，考虑

令 $v=Tu$，则 $v\in H^2\cap H_0^1$、$-v^{″}=u$，所以方程等价于

反方向，若 $v$ 解这个边值问题，定义 $u=f+\lambda v=-v^{″}$，零边界逆的唯一性保证 $Tu=v$，从而恢复积分方程。

这也与变分弱解一致。若 $v\in H_0^1(0,1)$ 满足对每个 $\phi \in H_0^1(0,1)$，

先取光滑紧支撑测试函数，便得分布意义的 $-v^{″}=f+\lambda v\in L^2$。$v,v^{\prime }$ 已属于 $L^2$，现在二阶弱导数也属于 $L^2$，所以 $v\in H^2$，回到上述强解与积分逆。反过来，$H^2$ 零端点解分部积分即满足弱式。若 $f$ 连续，一维 $H^1$ 代表连续，故 $f+\lambda v$ 连续，进而 $v\in C^2$。这里的正则性结论依赖这个一维常系数问题。

这里零端点属于 $v=Tu$，不应无条件加在原未知量 $u$ 上。一般 $L^2$ 的 $f$ 甚至没有端点值，也不能直接把原方程求两次导数写成含 $f^{″}$ 的经典方程。若 $f$ 连续，则 $u=f+\lambda v$ 连续，并有 $u(0)=f(0)$、$u(1)=f(1)$。

全部参数的解与两种共振右端 ​

展开 $f=\sum f_n{e}_n$。当 $\lambda \ne (n\pi {)}^2$ 对所有 $n$ 成立时，唯一解是

分母趋于一且有限个剩余分母非零，所以有共同正下界，级数确实在 $L^2$ 中收敛。

若 $\lambda =(m\pi {)}^2$，Fredholm 兼容条件理路紧算子的 Fredholm 择一Fredholm alternative for compact operators · Fredholm择一定理 · 紧扰动恒等算子的兼容条件证明恒等算子的紧扰动具有闭值域和指标零，用伴随齐次解准确判定有解、唯一与共振。是

不成立则无解；成立则上式略去第 $m$ 项，再加任意 $c{e}_m$，得到全部解。

特别在 $\lambda ={\pi }^2$：

• $f=\sin \pi x$：$f_1=1/\sqrt{2}\ne 0$，无解。也可将原式与 $\sin \pi x$ 配对，左边为零而右边为 $1/2$，直接矛盾。
• $f=\sin 2\pi x$：第一系数为零，第二方向的分母为 $1-1/4=3/4$，全部解为 $u=\frac{4}{3}\sin 2\pi x+c\sin \pi x$，$c\in \mathbb{C}$。代回时第二方向留下 $\sin 2\pi x$，第一方向恰好消失。

误差与零点边界 ​

保留前 $N$ 个特征项得到 $T_N$，有精确证书

这量化了有限维模型的统一误差。它不意味着第一类方程 $Tu=g$ 的逆连续：取 $g_n=T{e}_n$，有 $g_n\to 0$ 而对应输入始终为单位向量。由于 $T$ 自伴且单射，其值域稠密；但它不满射也不闭。例如 $g=\sum n^{-2}{e}_n$ 属于 $L^2$，若 $Tu=g$，就须每个 $u_n={\pi }^2$，不平方可和。有限部分和却都在值域。与此相对，$I-\lambda T$ 的值域始终闭。

上述 $n^{-2}$ 反例可以沿整族数据精确推广。Picard 判据理路Picard 判据与紧算子的最小范数逆Picard criterion · Picard solvability condition · Moore–Penrose inverse of a compact operator以余核正交和加权平方和同时判定精确可解性，给出最小二乘逆的真正定义域，并算出 Green 数据的 q>5/2 阈值。对 $g_q=\sum n^{-q}{e}_n$、$q>1/2$ 给出：有 $L^2$ 原像恰当且仅当 $q>5/2$，因为原像系数必须为 ${\pi }^2{n}^{2-q}$，临界点产生调和级数。即使数据有原像，扰动 $\delta e_m$ 的直接逆误差仍是 ${\pi }^2{m}^2\delta$；确定性谱正则化理路紧逆问题的确定性谱正则化Deterministic spectral regularization · TSVD and Tikhonov for compact inverse problems · 紧算子逆问题的截断与 Tikhonov 正则化对任意确定性噪声证明截断 SVD 与 Tikhonov 的偏差噪声界、同步参数收敛和一个明确源条件下的恢复速率。对同一输入给出截断与 Tikhonov 的抗噪证书。

本页的零边界正定模型可以推进到一般正则分离 Sturm–Liouville 问题理路正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱Regular Sturm–Liouville spectrum · 正则分离边界 Sturm–Liouville 算子在加权 L² 与准确 H² 定义域上证明一般分离实边界的自伴性、紧预解和完整简单谱，并保留 Robin 负谱与零模态。。那里在 $L^2(wdx)$ 上保留准确 $H^2$ 边界域，先找严格低于谱的实移位，再构造完整空间上的 Green 逆。例如 $p=1+x,w=(1+x{)}^{-1},q=-{\pi }^{2}w$ 的双 Neumann 问题同时有负特征值 $-{\pi }^2$ 和零模态；此时不能直接假设零参数的逆存在。连续相角计数理路Prüfer 相角、振荡与谱计数Prüfer phase and Sturm oscillation · Continuous Sturm eigenvalue count · Sturm–Liouville shooting certificate连续提升左端相角，证明参数严格单调、负无穷基准和零点编号，再以误差包围认证开闭谱计数及唯一 shooting 根。进一步给出全局特征值编号和 Robin 根的认证包围。