紧自伴算子谱定理

有限维自伴矩阵先找到一个极值方向，再到其正交补里重复。无限维单位球不紧，极值未必自动存在；紧算子把问题转到输出的紧性，补回这一步。之后还必须证明无限次挑选没有遗漏任何非零作用的方向。

第一步：二次型已经看见全部算子范数 ​

若 $H=\{0\}$，算子、核与展开都已确定，无需求单位球面上的上确界；以下设 $H\ne \{0\}$。令 $q(x)=⟨x,Tx⟩\in \mathbb{R}$，$m=\underset{\Vert x\Vert =1}{sup}|q(x)|$。Cauchy–Schwarz 给 $m\le \Vert T\Vert$。反方向，对单位 $x,y$，在复数情形先给 $y$ 乘一个模为一的标量，使 $⟨x,Ty⟩$ 为非负实数；实数情形只需改变符号。自伴性给

由 $|q(z)|\le m\Vert z{\Vert }^2$ 和平行四边形恒等式，右边绝对值至多 $4m$。所以 $|⟨x,Ty⟩|\le m$。先对单位 $x$ 取上确界，再对单位 $y$ 取上确界，得到 $\Vert T\Vert \le m$。

第二步：非零算子一定取得一个极值特征向量 ​

设 $m=\Vert T\Vert >0$。选单位向量 $x_n$，使 $|q(x_n)|\to m$；抽出同号子列后，有 $q(x_n)\to \mu$，其中 $\mu =m$ 或 $-m$。注意这里仅挑绝对值最大的一端，不声称正下确界或零下确界都能达到。

直接展开得

紧性使某子列 $T{x}_n\to y$。又因为 $\mu \ne 0$，

于是 $\Vert e\Vert =1$，连续性给 $Te=\mu e$。这一步从“近似特征向量”得到真正的特征向量，不需要假定无限维球面紧。

第三步：正交递推与趋零 ​

若 $Te=\mu e$，则 $\mu$ 为实数。对 $x\perp e$，有 $⟨e,Tx⟩=⟨Te,x⟩=0$，所以 $e^{\perp }$ 在 $T$ 下不变。在该闭子空间上限制 $T$，仍紧且自伴；若限制非零，就重复第二步，依次选出 $e_1,e_2,\dots$。每次挑的是剩余限制的范数，故 $|{\mu }_j|$ 非增。

不同特征值的向量正交，因为自伴恒等式给 $(\mu -\nu )⟨e,f⟩=0$。同一非零特征空间若无限维，也能选出无限正交单位族；其像两两距离为 $\sqrt{2}|\mu |$，与紧性矛盾。因此非零特征空间有限维。

更一般地，若无限个选出的特征值满足 $|{\mu }_j|\ge \epsilon >0$，则

仍与紧性矛盾。故无限序列必趋于零；这里不需要声称其中某个值重复无穷多次。

第四步：为什么没有遗漏的余项 ​

令 $M=\overline{\mathrm{span}\{e_j\}}$。在无限递推情形，对任意 $x\in M^{\perp }$，它属于每一个有限阶段的剩余空间，所以

令 $N\to \mathrm{\infty }$ 得 $Tx=0$。有限递推则恰因剩余限制为零而停止。因此 $M^{\perp }\subseteq \ker T$。反过来，若 $Tx=0$，则 ${\mu }_j⟨e_j,x⟩=⟨e_j,Tx⟩=0$，故 $x\perp M$。

闭子空间投影定理理路Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。现在给 $H=M\oplus \ker T$。正交部分和的平方范数是系数平方和，Bessel 估计使它们为 Cauchy 列；极限与 $x$ 的差正交于所有 $e_j$，所以就是核分量。这证明展开完备。对余项平方求和给 $\Vert T-T_N\Vert \le \underset{j>N}{sup}|{\mu }_j|$，再用尾部特征向量测试得等号。

在 ${\ell }^2$ 上，$D{e}_j=j^{-1}{e}_j$ 紧、自伴、单射。全部非零特征值是 $1/j$，而零没有特征向量。可是若存在有界逆，则 $1=\Vert e_j\Vert \le \Vert D^{-1}\Vert /j$，矛盾。因此零属于谱。其值域不闭，说明“离散非零谱”没有取消零点的特殊性。

再取 $P{e}_1=e_1$、$P{e}_j=0$（$j\ge 2$）。$P$ 有限秩紧自伴，但核是无限维；只列一个非零特征向量并不能展开任意 $x$。必须保留 $P_{\ker P}x$。

紧性不能省略。$L^2(0,1)$ 上的 $Mf(x)=xf(x)$ 有界自伴，没有非零普通特征向量：$Mf=\mu f$ 使 $f$ 仅可能支撑在单点，而单点是零测集。它也不紧：在 $[1/2,1]$ 取互不相交的正测度小区间 $I_j$，令 $f_j={\mathbf{1}}_{I_j}/\sqrt{|I_j|}$，则输出支撑不交且范数至少 $1/2$，因此两两距离至少 $1/\sqrt{2}$。其连续谱由一般 PVM 页处理。

自伴性也不能省略。二维矩阵 $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 有限秩所以紧，却只有一维特征空间，无法正交对角化。紧性保证某些有限维式的谱性质，并不会自动消除 Jordan 结构。

对于复 Hilbert 空间，若 $z\ne 0$ 且不等于任何 ${\mu }_j$，当特征族有限时，有限个非零数 $|z-{\mu }_j|$ 有正下界；当特征族无限时，${\mu }_j\to 0$ 先控制尾部，再检查有限个初始项，仍得到正下界。于是逐坐标定义

给出有界双侧逆。这证明非零谱确实没有特征值以外的点，而不只是列出了一些特征值。实空间讨论复谱时先复化；前面的正交展开本身在实空间直接成立。

若无限维紧算子有有界逆，复合 $T^{-1}T=I$ 就应紧，与恒等反例矛盾。因此无限维时零必在谱中。有限维时应单独检查是否有核。

区间 Dirichlet Green 算子理路区间 Dirichlet Green 算子Dirichlet Green operator on an interval · 区间零边界Green积分算子用正核min(x,t)−xt构造−d²/dx²的零边界逆，证明正则性与全谱，并把共振积分方程准确转为边值问题。具有 $e_j(x)=\sqrt{2}\sin \left(j\pi x\right)$、${\mu }_j=1/(j\pi {)}^2$。本定理说明这些特征函数足以覆盖核以外的所有输入；其核为零，所以得到整个 $L^2$ 的完备正弦展开。代入 $u-\lambda Tu=f$ 后，每个方向只剩标量方程 $(1-\lambda {\mu }_j)u_j=f_j$。当系数变为零，Fredholm 择一理路紧算子的 Fredholm 择一Fredholm alternative for compact operators · Fredholm择一定理 · 紧扰动恒等算子的兼容条件证明恒等算子的紧扰动具有闭值域和指标零，用伴随齐次解准确判定有解、唯一与共振。把它解释成兼容条件与非唯一性。

正则 Sturm–Liouville 谱理路正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱Regular Sturm–Liouville spectrum · 正则分离边界 Sturm–Liouville 算子在加权 L² 与准确 H² 定义域上证明一般分离实边界的自伴性、紧预解和完整简单谱，并保留 Robin 负谱与零模态。展示本定理如何用于无界微分算子：先证明移位逆 $T=(A-\eta I{)}^{-1}$ 在整个加权 $L^2$ 上紧、自伴、正且单射，再将 ${\mu }_n\downarrow 0$ 变成 ${\lambda }_n=\eta +{\mu }_n^{-1}\to +\mathrm{\infty }$。其定义域还需由 $D(A)=\mathrm{ran}T$ 恢复，不能只写出形式特征级数。微分算子的紧预解与本页的紧有界算子属于不同层次，负谱和零模态也在移位返回时保留。