紧算子

有界性只阻止输出无限放大。紧性还阻止输出保留无限多个彼此分离的方向：无论给出怎样的有界输入，总能挑出一串彼此越来越接近、最终有极限的输出。

对任意误差尺度，紧集可以被有限多个小球覆盖。因此一个紧算子虽然可能输出无限维信息，却能把全部单位输入的输出放进有限张近似模板附近。这是“像有限维”的精确含义；它不是说像本身真的有限维，也不是说每条输入都被压缩同一个固定比例。

有限秩为什么足够 ​

若 $T$ 有界且 $\mathrm{ran}T$ 有限维，则 $T(B_X)$ 是该有限维空间内的有界集。有限维子空间在 $Y$ 中闭，而有限维闭有界集紧理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。，所以 $T$ 紧。此处“有界”不可从“有限秩”三个字中略去：无限维定义域上不连续的线性泛函，即使像只有一维，也不满足单位球像有界。

算子范数极限为什么仍紧 ​

设 $Y$ 是Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，$T_n$ 紧且 $\Vert T_n-T\Vert \to 0$。给定 $\epsilon >0$，选 $n$ 使 $\Vert T-T_n\Vert <\epsilon /3$。$T_n(B_X)$ 有一个有限的 $\epsilon /3$-网。对每个 $x\in B_X$，先把 $Tx$ 换成 $T_{n}x$，再取网中的近邻，总误差小于 $2\epsilon /3$。于是 $T(B_X)$ 全有界，其闭包仍全有界且完备，因而紧。

这里真正传递的是对所有单位输入同时成立的误差界。只知道每个固定 $x$ 都有 $T_{n}x\to Tx$，不足以完成这个有限网论证。值域的完备性则负责把越来越细的近似变成空间内的极限。

范数都是一，紧性却不同 ​

在 ${\ell }^2$ 上，恒等算子 $I$ 有范数一。标准正交单位向量 $e_n$ 满足

所以没有范数收敛子列，$I$ 不紧。无限维 Hilbert 空间的恒等算子同理不紧。

现在改成

保留前 $N$ 个输出坐标得到有限秩 $D_N$，直接求尾部范数可得

上界来自对各坐标平方求和；以 $e_{N+1}$ 测试取得等号。因此 $D$ 紧，但它的像含有所有有限支撑序列，维数仍无限。紧算子不等于有限秩算子。

紧算子的值域不一定闭 ​

仍取 $D$。序列 $y=(1,1/2,1/3,\dots )$ 属于 ${\ell }^2$，但若 $Dx=y$，则必须 $x_n=1$，不属于 ${\ell }^2$，所以 $y$ 不在值域。$y$ 的有限截断却都在值域，且在 ${\ell }^2$ 中趋于 $y$。于是 $\mathrm{ran}D$ 稠密而不闭。

这不违背定义：紧性控制有界输入的像。产生上述截断输出的输入是前 $N$ 项全为一的向量，其范数 $\sqrt{N}$ 无界。

收缩与紧性各管一件事 ​

$\frac{1}{2}I$ 的算子范数小于一，却仍不紧；对 $e_n$ 的输出两两距离为 $1/\sqrt{2}$。另一方面，$100D$ 紧但范数为一百。固定点迭代所需的收缩条件与抽取收敛子列所需的紧性，不可互相替代。

紧算子的和与标量倍仍紧。对于 $T+S$，先从有界输入中抽出使 $T{x}_n$ 收敛的子列，再从该子列中抽出使 $S{x}_n$ 收敛的子列；两项的和便收敛。

若 $A:W\to X$、$B:Y\to Z$ 有界而 $T:X\to Y$ 紧，则 $BTA$ 紧：$A$ 先把有界输入送到有界集，$T$ 提供收敛子列，$B$ 的连续性保存收敛。这一复合稳定性常称为紧算子的理想性质。

在 Hilbert 空间中，上面的有限秩充分条件还有逆方向：每个紧算子都可以在算子范数中被有限秩算子逼近。有限秩逼近定理理路Hilbert 空间中的有限秩逼近Finite-rank approximation of compact operators · Hilbert compact approximation theorem用紧像的有限网与正交投影构造算子范数近似，并解释固定输入的截断收敛为何远远不够。以单位球像的有限网和正交投影直接构造近似；不能不检查空间条件就把它搬到任意 Banach 空间。

平方可积核积分算子理路平方可积核积分算子Square-integrable kernel operator · Hilbert–Schmidt integral operator · 平方可积积分核从核的平方积分建立有界与紧性，通过共轭转置核判定自伴，并区分积分核、算子零空间与逐点评价。给出一大类无限秩紧算子。再加自伴性，就能得到完整离散谱展开理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。。求解方程时，还要区分紧算子 $T$ 本身和 $I-\lambda T$：前者可以有不闭值域，后者的闭值域与兼容条件由Fredholm 择一理路紧算子的 Fredholm 择一Fredholm alternative for compact operators · Fredholm择一定理 · 紧扰动恒等算子的兼容条件证明恒等算子的紧扰动具有闭值域和指标零，用伴随齐次解准确判定有解、唯一与共振。保证。