Hilbert 空间中的有限秩逼近

把每个输出截成有限维并不难，难的是同一截断对所有单位输入同时有效。紧性恰好提供这样的统一性：先用有限个代表覆盖全部输出，再让有限维空间包含这批代表。最近点投影不会比其中任何一个代表更差。

由有限网直接构造近似 ​

设 $C=\overline{T(B_{H_1})}$ 紧。给定 $\epsilon >0$，选有限个 $y_1,\dots ,y_m\in H_2$，使每个 $Tx$、$\Vert x\Vert \le 1$ 都离某个 $y_i$ 小于 $\epsilon /2$。令

有限维 $E$ 闭，Hilbert 投影定理理路Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。给出范数至多一的正交投影 $P_E$，以及最近点性质。于是

取单位球上的上确界得 $\Vert T-R\Vert \le \epsilon /2<\epsilon$。$R$ 的值域包含在 $E$ 中，故有限秩且有界。分别取 $\epsilon =1/n$ 得到序列。反方向由紧算子页的“有限秩有界算子紧、算子范数极限仍紧”立即得到；这里 $H_2$ 完备正好满足该极限定理的条件。

实际上这部分正向构造只使用值域的 Hilbert 几何，定义域只需赋范。本页保留双 Hilbert 版本，便于同时讨论伴随与固定正交基。

为什么任意固定正交基也能工作 ​

假设 $H_2$ 可分。对每个固定 $y\in H_2$，有 $P_{N}y\to y$，而 $\Vert I-P_N\Vert \le 1$。再给紧集 $C$ 取有限的 $\epsilon /3$-网 $y_i$。由于只有有限个中心，可选同一个 $N_0$，使 $N\ge N_0$ 时所有 $\Vert (I-P_N)y_i\Vert <\epsilon /3$。对任意 $y\in C$，

因此 $P_N\to I$ 在紧集 $C$ 上一致，恰好给 $\Vert T-P_{N}T\Vert \to 0$。这个结论并没有声称 $P_N\to I$ 在整个单位球上一致。

一个有精确误差的无限矩阵 ​

对 $D:{\ell }^2\to {\ell }^2$，$D{e}_j=j^{-1}{e}_j$，取前 $N$ 个坐标投影。任意 $\Vert x{\Vert }_2\le 1$ 满足

以 $x=e_{N+1}$ 取得等号。故 $\Vert D-P_{N}D\Vert =1/(N+1)$。例如要求误差至多 $0.01$，$N=99$ 已足够；要求严格小于 $0.01$ 则须 $N\ge 100$。

若只改成 $I$，每个固定 $x\in {\ell }^2$ 仍有 $P_{N}x\to x$，但

对所有 $N$ 成立。见证向量 $e_{N+1}$ 随 $N$ 改变，正是逐点收敛无法控制的情况。这个例子同时证明：有限秩算子的强算子极限可以不紧。

核近似必须带上误差范数 ​

若积分核 $k_N$ 是有限个可分离项 $a_j(x)b_j(t)$ 的和，其积分算子有限秩。但只在有限采样点观察 $k_N\approx k$，并没有证明算子范数误差。平方可积核估计理路平方可积核积分算子Square-integrable kernel operator · Hilbert–Schmidt integral operator · 平方可积积分核从核的平方积分建立有界与紧性，通过共轭转置核判定自伴，并区分积分核、算子零空间与逐点评价。提供真正的证据：$\Vert T_k-T_{k_N}\Vert \le \Vert k-k_N{\Vert }_{L^2}$。应先确认右边趋零，再引用本定理。

Banach 空间边界 ​

不能删掉 Hilbert 值域就照搬本证明。一般 Banach 空间没有上述正交最近点投影；有限维子空间即使存在有界投影，其范数也未必统一受控。任意紧算子都可被有限秩算子作算子范数逼近，在一般 Banach 空间间并非无条件成立，涉及逼近性质。本页既不宣称所有 Banach 空间具有该性质，也不把“没有正交投影”当作单独的反例证明。

仍然普遍有效的是另一方向：值域为 Banach 空间时，有界有限秩算子的算子范数极限一定紧。应把这个方向与需要额外几何的逆方向分开记。

伴随也紧 ​

若 $T:H_1\to H_2$ 紧，取有限秩 $R_n\to T$。伴随算子理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。满足

为看出 $R_n^{\ast }$ 有限秩，令 $E=\mathrm{ran}{R}_n$，选它的一组正交规范基 $a_1,\dots ,a_m$。有

这里内积第一变量共轭线性。第二式表明值域包含在有限个 $R_n^{\ast }{a}_j$ 的张成空间内。所以 $T^{\ast }$ 紧。反过来再取一次伴随即可，故紧性与伴随紧性等价。

若 $T=T^{\ast }$，原近似 $R_n$ 未必自伴，但

自伴、有限秩，且 $\Vert T-S_n\Vert \le \Vert T-R_n\Vert$。这保证紧自伴算子能被有限维自伴模型逼近。不过，完整特征向量展开还需紧自伴谱定理理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。排除残余空间；不能仅凭“矩阵各自能对角化”跳过基随 $n$ 改变的问题。

另一个用途是把 $I-K$ 写成可逆的小扰动乘以恒等算子的有限秩扰动，从而将一般紧算子的 Fredholm 择一理路紧算子的 Fredholm 择一Fredholm alternative for compact operators · Fredholm择一定理 · 紧扰动恒等算子的兼容条件证明恒等算子的紧扰动具有闭值域和指标零，用伴随齐次解准确判定有解、唯一与共振。归约到一个真正有限维的方程。