平方可积核积分算子

矩阵乘法把一列输入按矩阵每一行的权重加总。积分算子把有限求和换成对连续参数 $t$ 的积分。核平方可积保证这些行的平方大小总量有限；它们可以被有限个可分离模式近似，于是对应算子也可由有限秩模型一致近似。

积分为何定义了一个有界算子 ​

Fubini–Tonelli 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。说明，对几乎每个 $x$，截面 $k(x,\cdot )$ 属于 $L^2(0,1)$。Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。给

再对 $x$ 积分，便得到 $\Vert T_{k}f{\Vert }_2^2\le \Vert k{\Vert }_2^2\Vert f{\Vert }_2^2$。可测性可先对非负函数用 Tonelli，再把复函数拆成实、虚部的正负部分。修改 $f$ 或 $k$ 的零测集代表，只会改变零测集上的输出，故定义在等价类上良好。对差核应用同一估计，就得到算子误差界。

为什么平方可积足以给紧性 ​

选 $L^2(0,1)$ 的一组可数完备正交规范基 $(e_j)$，例如由Fourier 完备展开理路Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。得到的指数基，按一种固定顺序编号。二维函数

组成 $L^2((0,1{)}^2)$ 的完备正交规范系。正交性由分开积分立即得到；完备性也可以逐截面检查：若 $h$ 与所有 $E_{mn}$ 正交，令 $h_n(x)=\int h(x,t)e_n(t)dt$，上面的估计保证 $h_n\in L^2$。它与每个 $e_m$ 正交，所以 $h_n=0$ 几乎处处。$n$ 可数，故可选同一个满测集，使其中每个 $x$ 的全部截面系数都为零。$\{\overline{e_n}\}$ 同样是完备基，遂有 $h(x,\cdot )=0$ 几乎处处，最终 $h=0$。

令 $c_{mn}=⟨E_{mn},k⟩$，取有限矩形部分和

由正交展开，$\Vert k-k_N{\Vert }_2\to 0$。而

的值域在 $\mathrm{span}\{e_1,\dots ,e_N\}$ 内，因而有限秩。算子误差不等式给 $\Vert T_k-T_{k_N}\Vert \to 0$；紧算子在算子范数下的闭性完成证明。

伴随核为什么要交换且共轭 ​

对 $f,g\in H$，二维 Cauchy–Schwarz 给

所以可合法交换积分：

这正是伴随恒等式理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。。若 $T_h=0$，它对所有基向量的输出都为零，上面乘积基的系数全部为零，故 $h=0$ 于 $L^2$。因此同类核唯一，也就证明自伴条件的必要性。

可分离核是一秩模型 ​

取 $k(x,t)=xt$，则

值域是 $x$ 的张成空间。因为 $\Vert x{\Vert }_2=1/\sqrt{3}$，有 $\Vert k{\Vert }_2=1/3$，且以单位输入 $f(t)=\sqrt{3}t$ 测试可知 $\Vert T_k\Vert =1/3$。唯一非零特征值为 $1/3$，对应特征函数 $x$；其他所有与 $x$ 正交的输入都被送到零。

连续核有更直观的紧性证明 ​

若 $k$ 在闭正方形上连续，则对 $\Vert f{\Vert }_2\le 1$，

紧正方形上的一致连续性使右边有一个与 $f$ 无关的连续模。因此单位球像在 $C[0,1]$ 中共同有界且等度连续，Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。给出一致收敛子列；一致收敛又推出 $L^2$ 收敛。这是从函数族紧性到算子紧性的直接桥梁。

平方可积核却不保证连续输出。取 $k(x,t)={\mathbf{1}}_{(0,1/2)}(x)$，输入 $f=1$ 时输出就是一个阶跃函数。核在单条直线上的取值也不会改变 $L^2$ 算子，故不能随意讨论它在任意指定点的值。

紧不代表自伴，更不保证特征基 ​

Volterra 算子

的核是 ${\mathbf{1}}_{\{t<x\}}$，平方积分为 $1/2$，所以紧。它的伴随为 $V^{\ast }g(t)={\int }_t^{1}g(x)dx$；例如 $V1=x$ 而 $V^{\ast }1=1-x$，故不自伴。

它甚至没有任何非零特征值。若 $Vf=\mu f$ 且 $\mu \ne 0$，则 $f$ 有绝对连续代表，满足 $\mu f^{\prime }=f$、$f(0)=0$。乘以 $e^{-x/\mu }$ 求导得到零，因此 $f=0$，矛盾。$Vf=0$ 也推出 $f=0$。所以紧性本身不能给出完整特征函数基；紧自伴定理中的自伴条件确实必要。

没有普通特征基仍可寻找输入端和输出端的不同坐标。紧算子的奇异系统理路紧算子的奇异系统Singular system of a compact operator · Compact operator SVD · 紧算子左右奇异展开为一般紧算子构造两端的完整奇异方向，证明范数收敛与截断误差，并求完 Volterra 算子的混合边界奇异系统。从 $V^{\ast }V$ 的混合边界 $f^{\prime }(0)=0,f(1)=0$ 求得 $v_n=\sqrt{2}\cos ((n-1/2)\pi x)$、$u_n=\sqrt{2}\sin ((n-1/2)\pi x)$ 和 ${\sigma }_n=1/((n-1/2)\pi )$，完整证明双向配对与两端基的完备性。这样本例既保留“无非零特征值”的边界，也获得了能够控制截断误差、检查积分原像的另一套坐标。

对任意完备正交规范基 $(e_n)$，截面 Parseval 恒等式与非负项 Tonelli 交换给

左边定义其 Hilbert–Schmidt 范数平方；因此核范数是这一范数，不一定是算子范数。无需为证明本页紧性先建立整个迹类理论。

若还知道核可连续延拓到闭正方形 $[0,1{]}^2$，该延拓在有限 Gram 意义下正半定，且闭区间上的有限测度具有全支撑，正核的谱质量与迹公式理路正核的谱质量、迹与截断误差Positive kernel spectral trace · Mercer theorem · Mercer 定理 · 连续正核的迹公式从连续正半定核的逐点再生表示证明 Mercer 展开与正迹公式，再计算 Brownian 协方差的三种截断误差及奇异加权损失的成败。进一步证明特征值的一次和等于连续核的对角积分。那一结论先在 RKHS 中恢复逐点对角线，不能由本页的二维 $L^2$ 核代表直接代入 $x=t$ 得到；迹尾、HS 尾和算子范数尾也分别计量不同误差。

反过来，并非每个紧算子都有平方可积核表示。选 $L^2(0,1)$ 中的完备正交规范基，定义 $T{e}_n=n^{-1/2}{e}_n$。有限截断的算子范数误差为 $(N+1{)}^{-1/2}$，所以它紧；但 $\sum _n\Vert T{e}_n{\Vert }^2=\sum _{n}1/n=\mathrm{\infty }$，与平方可积核必有的上式矛盾。

区间 Green 核理路区间 Dirichlet Green 算子Dirichlet Green operator on an interval · 区间零边界Green积分算子用正核min(x,t)−xt构造−d²/dx²的零边界逆，证明正则性与全谱，并把共振积分方程准确转为边值问题。 $G(x,t)=min(x,t)-xt$ 连续且实对称，所以同时可用有限秩近似与 Ascoli 两条证明建立紧自伴性。若再证明正性与核为零，紧自伴谱定理便把求解积分方程转为一组标量方程。