Arzelà–Ascoli 定理

一条函数曲线有无限多个取值，单纯把所有值限制在同一高度带内仍留下无限自由度。共同连续尺度使邻近取值不能彼此独立：一旦采样点足够密，整条曲线便由这些有限读数近似决定。逐点有界性再把有限读数装进有限多个小格子，从而得到有限张代表曲线。

这份有限化首先证明的是全有界性。完备性理路完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。随后为逐渐加密的近似补上极限。连续函数空间完备，因为一致 Cauchy 列先逐点取得标量极限，再由统一尾部估计一致收敛，而连续性在一致极限下保持。

充分方向：有限读数产生有限误差球 ​

由紧域等度连续的统一化和逐点界，$\mathcal{F}$ 一致等度连续且存在共同高度界。给定 $\epsilon >0$，选 $\delta >0$ 使

取有限个开球 $B(x_i,\delta )$ 覆盖 $K$。每个采样位置的取值集合 $\{f(x_i):f\in \mathcal{F}\}$ 在 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 中有界，所以可切入有限多个直径小于 $\epsilon /4$ 的小区间或小方格。把各坐标的格子编号组成一个有限长编码。

可能编码只有有限多个。从每个实际出现的编码中选一个代表函数 $g$。若 $f$ 与 $g$ 编码相同，则每个采样点都有 $|f(x_i)-g(x_i)|<\epsilon /4$。任意 $x\in K$ 落在某个 $B(x_i,\delta )$，故

于是 $\Vert f-g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 3\epsilon /4<\epsilon$。因此这些有限个原族代表构成 $\epsilon$-网，$\mathcal{F}$ 全有界。闭包仍全有界：先用半径 $\epsilon /2$ 的网，再把任意闭包点近似到原族中，三角不等式给半径 $\epsilon$ 的网。闭包又是完备空间的闭子集，故完备。由紧空间页的“完备且全有界当且仅当度量紧”刻画，$\bar{\mathcal{F}}$ 紧。

必要方向：有限代表限制高度与变化 ​

设 $H=\bar{\mathcal{F}}$ 紧。有限个半径一的一致范数球覆盖 $H$，中心 $g_1,\dots ,g_m$ 属于 $H$，于是

得到共同高度界。

给定 $\epsilon >0$，重新选择有限个半径 $\epsilon /3$ 的一致范数球覆盖 $H$，中心记为 $h_1,\dots ,h_s$。这些有限个连续函数在紧域上均一致连续，所以可选共同 $\delta$ 使 $d(x,y)<\delta$ 时全部 $|h_i(x)-h_i(y)|<\epsilon /3$。对任意 $f$ 选其近邻 $h_i$，三角不等式给

这证明一致等度连续，从而完成必要方向。

共同Lipschitz约束给出紧集 ​

在 $C[0,1]$ 中固定 $M,L\ge 0$，定义

共同高度界和共同 Lipschitz 常数给出定理的两个条件。若 $f_n\in {\mathcal{K}}_{M,L}$ 一致趋于 $f$，分别在 $|f_n(x)|\le M$ 与增量不等式中取极限，便知 $f\in {\mathcal{K}}_{M,L}$。因此这个族闭且紧；它的任意闭子集也紧。

闭性不能省略。常值函数族 $\{f_c\equiv c:0<c<1\}$ 共同有界且共同零Lipschitz，却不包含常数序列 $1/(n+1)$ 的极限零函数。它相对紧，本身不紧。

$x^n$ 究竟缺了什么 ​

$\mathcal{P}=\{x^n:n\ge 1\}$ 在 $C[0,1]$ 中共同有界于一，定义域紧，每项连续，原族甚至是闭集。若一列成员一致收敛，而其指数无界，就能再取指数趋于无穷的子列；它逐点趋于 ${\mathbf{1}}_{\{1\}}$，与一致极限连续矛盾。若指数有界，则只有有限种函数，任何收敛极限必属于这个有限集。这证明 $\mathcal{P}$ 闭。

失败的是等度连续性：取 $x_n=2^{-1/n}$，则 $x_n\to 1$ 而 $1-x_n^n=1/2$。它也没有共同 Lipschitz 常数，因为每项在端点的左差商趋于 $n$，任何该项的 Lipschitz 常数都至少为 $n$。因此“闭且有界”在这个无限维空间中仍不足以给紧性。

定义域非紧时，峰可以逃向远处 ​

在 $\mathbb{R}$ 上取 $f_n(x)=max\{1-|x-3n|,0\}$。所有函数有共同高度界一和共同Lipschitz常数一，但支撑彼此不交，任意两项的一致距离恰为一，所以没有一致收敛子列。每个固定紧区间上，峰最终离开，限制函数反而一致趋于零。定义域紧性正是把局部控制汇成全域有限采样的条件。

值域和拓扑不能悄悄更换 ​

若值域改为无限维 Hilbert 空间，逐点有界不够。令 $f_n(x)\equiv e_n$，其中 $e_n$ 是标准正交单位向量。这个族共同零Lipschitz且共同有界，但任意两项的一致距离都是 $\sqrt{2}$，没有收敛子列。一般完备度量值域的对应判据需把“逐点有界”改为“各点评值集合相对紧”。本页的标量条件依赖有限维有界集的全有界性。

一致闭包也不能替换成逐点闭包。$x^n$ 的逐点闭包含有不连续的 ${\mathbf{1}}_{\{1\}}$，这个对象根本不属于本页的环境空间。弱收敛、逐点收敛和一致收敛对同一函数族会给出不同的紧性问题。

从极限存在转向极小值存在 ​

在非空 ${\mathcal{K}}_{M,L}$ 上，$J(f)={\int }_0^1|f(x)-g(x)|dx$ 对给定连续 $g$ 满足 $|J(f)-J(h)|\le \Vert f-h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，所以连续。取趋向下确界的序列，由紧性抽出一致收敛子列，连续性把极限的目标值变成下确界。因此存在最优拟合函数；单有每步误差下降并不能替代这项存在性论证。

本定理同样适用于共同 Hölder 界 $|f(x)-f(y)|\le H|x-y{|}^{\alpha }$，$\alpha >0$。Schilder 定理理路Schilder 定理Schilder theorem在一致路径拓扑下，以平方速度能量刻画小噪声 Brownian 路径的大偏差成本。中的能量界给出平方根型共同连续模，接上闭性证明后产生紧能量子水平集。Montel 定理理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。则由全纯性导出局部导数界，在各紧集上运行相应紧性机制；其全纯极限保持和局部一致拓扑还需要复分析中的额外论证。

连续积分核怎样把单位球变成相对紧函数族 ​

设 $k\in C([0,1{]}^2)$，$Tf(x)={\int }_0^{1}k(x,t)f(t)dt$。对 $L^2$ 单位球内所有 $f$，Cauchy–Schwarz 同时给 $\Vert Tf{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert k{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 与

核的一致连续性提供共同连续模，所以本定理使输出在 $C[0,1]$ 中相对紧；一致收敛又推出 $L^2$ 收敛。这正是连续核积分算子的紧性证明理路平方可积核积分算子Square-integrable kernel operator · Hilbert–Schmidt integral operator · 平方可积积分核从核的平方积分建立有界与紧性，通过共轭转置核判定自伴，并区分积分核、算子零空间与逐点评价。。若核仅平方可积，输出可能是阶跃函数，此时应改用核的 $L^2$ 有限秩逼近，不能直接调用本定理的连续函数族版本。

紧性还能用于证明方程有解。Peano 定理理路Peano 存在定理与 Euler 折线Peano existence theorem · Cauchy–Peano theorem · 佩亚诺存在定理在有限维连续向量场中构造不逃出的 Euler 折线，由一致积分残差与紧性取得经典解，并区分存在性、整列收敛和解误差。对共同有界、共同速度受控的 Euler 折线抽取子列，再用消失的积分残差把方程传给极限。Schauder 紧像不动点定理理路Schauder 紧像不动点定理Schauder fixed-point theorem · Schauder compact mapping theorem · 绍德尔不动点定理把连续自映射的相对紧像近似进有限维凸包，由 Brouwer 取得近似不动点，再以紧性得到非线性积分方程的解。中的非线性积分方程则先以共同高度和共同导数界证明像相对紧，再通过有限维凸包取得固定点；相对紧的输出族不要求原来的连续函数球紧。