Dini 单调一致收敛定理

逐点收敛只承诺每个位置最终达标。紧性可以选出有限组局部达标信息，但仍需要保证早先已经达标的位置以后不再失效。单调性正好提供这种持久性：误差进入容许范围后，只会继续减小。

开覆盖证明 ​

取递减非负误差 $g_n\downarrow 0$，固定 $\epsilon >0$。令

连续性使 $U_n$ 为开集，逐点趋零使 $\bigcup _n{U}_n=K$，单调性使 $U_n\subseteq U_{n+1}$。紧性给出有限子覆盖 $U_{n_1},\dots ,U_{n_m}$。取 $N=\underset{i}{max}{n}_i$，嵌套性便给 $U_N=K$，而且 $n\ge N$ 时仍有 $U_n=K$。因此 $g_n(x)<\epsilon$ 对所有 $x$ 同时成立。

从最后的不等式取上确界得到 $\underset{K}{sup}{g}_n\le \epsilon$；若需要严格小于指定误差，开始时使用该误差的一半即可。证明没有留下“对每点取一个 $N_x$ 再直接求最大值”的跳步；有限子覆盖才使最大值有意义。

光滑曲线单调靠近一个尖角 ​

在 $[0,1]$ 上取

每项连续，随 $n$ 递减，极限也连续，所以 Dini 定理给一致收敛。这里还可直接给速率：对 $a\ge 0,b\ge 0$，$\sqrt{a^2+b}-a\le \sqrt{b}$，等号在 $a=0$ 取得。因此

这个例子同时说明极限可以失去可微性；Dini 的结论只控制函数值。

三种失败分别移除一项条件 ​

若去掉极限连续性，在 $[0,1]$ 上的 $x^n$ 连续并逐点递减，却趋向端点跳跃函数 ${\mathbf{1}}_{\{1\}}$，最大误差上确界始终为一。单调性和紧性没有替极限补上连续性。

若去掉紧性，把同一列限制在 $[0,1)$，极限变成连续的零函数，仍有 $\underset{x<1}{sup}{x}^n=1$。此时失败位置不断移向缺失的端点。

若去掉序号单调性，取 $[0,1]$ 上的连续三角尖峰

其支撑为 $[2^{-n},2^{1-n}]$，峰顶位于 $3/2^{n+1}$，峰高为一。每个固定正点最终离开支撑，零点处始终为零，所以 $h_n\to 0$ 逐点，但 $\Vert h_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。移动的尖峰会重新破坏已经达标的区域，开集 $U_n$ 不再嵌套。

各项连续也有自己的作用。令 $g_n={\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$，定义域仍为 $[0,1]$。它递减、逐点趋于连续的零函数，却始终有上确界一；各项不连续，使达标集合不能作为开覆盖使用。

上下逼近给出全域停止证书 ​

设连续函数 ${\ell }_n$ 递增到连续的 $f$，$u_n$ 递减到同一 $f$，定义域紧。Dini 定理分别给出两侧一致收敛，因此

一旦算出可验证的 $\Vert u_n-{\ell }_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \epsilon$，两侧与 $f$ 的误差都不超过 $\epsilon$。单调性让这个证书对以后所有阶段继续有效。计算上仍需控制整个区间的间隙，不能只看几处取值。

定理本身不提供统一速率。任取下降到零的正数列 $a_n$，令 $f_n\equiv a_n$，则全部条件成立且误差恰为 $a_n$；它可以按任意缓慢的预定速度下降。若任务需要由容差直接求出次数或阶段，必须再用显式误差估计，例如Bernstein 多项式的连续模误差界理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。。

与Arzelà–Ascoli 判据理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。相比，Dini 已知逐点极限，并用单调性得到整列一致收敛；Ascoli 不预先给出极限，使用族的共同连续性抽出子列。这两种入口解决不同的已知条件，不能把前者的“整列”结论直接套给后者。