正核的谱质量、迹与截断误差

形式陈述

平方可积核已经能给出紧积分算子和奇异值的平方和。本页要多回答一个问题：什么时候能把特征值本身相加，并直接从核读出总和？这个总量又怎样变成随机函数截断后的平均平方误差？

全页采用实数标量。设 $X$ 是非空紧度量空间， $\mu$ 是有限 Borel 测度，并且有全支撑：每个非空开集的测度都严格为正。设 $k:X\times X\to\mathbb R$ 连续、对称，且是正半定核，即任意有限取点（允许重复）及实系数都满足

\sum_{i,j=1}^m a_i a_j k(x_i,x_j)\ge0.

令

H=L^2(X,\mu;\mathbb R),\qquad (Tf)(x)=\int_X k(x,y)f(y)\,d\mu(y).

积分给出连续代表；作为 $H\to H$ 的映射仍按几乎处处等价类理解。下面会证明 $T$ 紧、自伴且正，因此可以使用紧自伴谱定理的记号：将正特征值按重数排列为 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots>0$ ，选归一化特征函数的连续代表 $e_j$ 。它们是 $(\ker T)^\perp$ 的完备正交规范基，未必覆盖整个 $H$ 。

Mercer 展开和两个总量

正指标集可以为空、有限或可数无限。对实际存在的指标求和，有

\boxed{k(x,y)=\sum_j\lambda_j e_j(x)e_j(y)} \qquad(x,y\in X), \tag{1}

级数在 $X\times X$ 上绝对且一致收敛。并且

\boxed{\sum_j\lambda_j=\int_X k(x,x)\,d\mu(x)<\infty}, \tag{2}

\boxed{\sum_j\lambda_j^2 =\iint_{X\times X}k(x,y)^2\,d\mu(x)d\mu(y)}. \tag{3}

这里对角线 $k(x,x)$ 是原来的连续核的点值，不是从任意 $L^2(X\times X)$ 代表上抽取的值。

只引入本页需要的两个算子类别。紧算子 $A$ 的正奇异值为 $s_j(A)$ ；若 $\sum_j s_j(A)^2<\infty$ ，称为 Hilbert–Schmidt 算子，记 $\|A\|_{\mathrm{HS}}=(\sum_j s_j(A)^2)^{1/2}$ ；若 $\sum_j s_j(A)<\infty$ ，称为迹类算子。正紧算子的奇异值就是正特征值。式(2)说明这里的 $T$ 是迹类，式(3)是其 HS 范数平方。本页还将证明

\operatorname{tr}T:=\sum_m\langle f_m,Tf_m\rangle_H =\sum_j\lambda_j \tag{4}

对 $H$ 的任意完备正交规范基 $(f_m)$ 都成立。因此正迹确实与坐标选择无关。

一个截断，对应三种不同的误差

允许 $N=0$ ，令

k_N(x,y)=\sum_{j\le N}\lambda_j e_j(x)e_j(y),\qquad T_Nf=\sum_{j\le N}\lambda_j\langle e_j,f\rangle_H e_j,

r_N(x)=k(x,x)-\sum_{j\le N}\lambda_j e_j(x)^2\ge0.

有限秩时只保留实际存在的项；全部正模态取完后，后面的尾和与误差都为零。正余算子 $T-T_N$ 满足

\begin{aligned} \operatorname{tr}(T-T_N)&=\int_X r_N\,d\mu=\sum_{j>N}\lambda_j,\\ \|T-T_N\|_{\mathrm{HS}}^2&=\sum_{j>N}\lambda_j^2. \end{aligned} \tag{5}

若还有下一个正模态， $\|T-T_N\|_{\mathrm{op}}=\lambda_{N+1}$ ；否则算子范数误差为零。此外

\sum_{j>N}\lambda_j|e_j(x)e_j(y)| \le\sqrt{r_N(x)r_N(y)},\qquad \|r_N\|_\infty\longrightarrow0. \tag{6}

所以 $\|k-k_N\|_\infty\le\|r_N\|_\infty\to0$ 。式(5)中的平方和是 HS 范数的平方，不能与 HS 范数本身混称。

允许不可积的非负损失权

若 $w\ge0$ 可测且几乎处处有限，在零测异常集上任选有限值，则

\sum_j\lambda_j\int_X w e_j^2\,d\mu =\int_X w(x)k(x,x)\,d\mu(x) \quad\text{于 }[0,+\infty]. \tag{7}

右边有限时， $\int_X w r_N\,d\mu\to0$ 。这里始终使用原测度 $\mu$ 的特征值和特征函数，只改变损失的计量方式。若 $\int w\,d\mu=\infty$ ，仅有 $\|r_N\|_\infty\to0$ 并不足以推出这个加权结论。

这些是足够条件，不声称每项都是所有推广中不可缺少的必要条件。去掉全支撑时，逐点展开应限制在 $\operatorname{supp}\mu\times\operatorname{supp}\mu$ ；不能自动恢复测度看不见的点。

直觉

对协方差核， $k(x,x)$ 是位置 $x$ 的方差。把它对空间积分，得到平方波动的积分总量；只有测度归一化为概率测度时，才可称为空间平均。谱展开则把同一波动分配给互相正交的方向，每个方向得到 $\lambda_j$ 。迹公式说，这两种记账方式相同。

三种尾量回答不同问题：迹尾把漏掉的正谱质量全部相加；HS 尾先平方再相加、最后开方；算子范数尾只看剩余最大的一个方向。它们共享同一组谱，却不会有相同衰减速度。

真正困难的是“空间点值”与“ $L^2$ 等价类”之间的桥。一个二维零测集可以包含整条对角线，所以不能先得到乘积空间几乎处处的展开，再把 $y=x$ 代进去。下面先在再生核空间中对每一个点使用 Parseval，之后才积分。

第一步：连续特征映射让点值有可靠来源

复用再生核 Hilbert 空间的构造，记它为 $H_k$ ， $k_x=k(\cdot,x)$ ，有 $h(x)=\langle h,k_x\rangle_{H_k}$ 。对任意 $x,y$ ，

\|k_x-k_y\|_{H_k}^2=k(x,x)+k(y,y)-2k(x,y).

$k$ 连续使 $x\mapsto k_x$ 在 $H_k$ 范数中连续。因此每个 $h\in H_k$ 都连续：

|h(x)-h(y)|\le\|h\|_{H_k}\|k_x-k_y\|_{H_k}.

紧度量空间有可数稠密子集 $\{x_q\}$ 。若 $h$ 正交于全部 $k_{x_q}$ ，则 $h(x_q)=0$ ，连续性使 $h$ 处处为零。所以这些核截面是可数全体集， $H_k$ 可分。

$H=L^2(X,\mu)$ 也可分：可数拓扑基生成一个可数集合代数；其集合的示性函数与有理系数简单函数在 $L^2$ 中稠密。这里的稠密性可由有限测度下的单调类逼近得到：能按对称差测度逼近的集合包含这个代数，并对递增并及递减交封闭，因而覆盖 Borel 集。测度完成后新增的零集不改变 $L^2$ 。所以后文两处使用可数正交基都有根据。

第二步：包含映射的平方质量先给紧性

设

M=\int_X k(x,x)\,d\mu(x),\qquad J:H_k\to H,\quad Jh=h.

$k(x,x)$ 连续、非负且有界， $\mu$ 有限，所以 $M<\infty$ 。再生点值界给

\|Jh\|_2^2\le M\|h\|_{H_k}^2.

若 $Jh=0$ ， $h$ 几乎处处为零。若某点 $h(x)\ne0$ ，连续性会给一个非空开邻域，其上 $|h|$ 有正下界；全支撑使该邻域测度为正，与 $Jh=0$ 矛盾。因此 $J$ 单射。

选 $H_k$ 的完备正交规范基 $(h_\ell)$ ，对每个 $k_x$ 用 Parseval，再用非负项的 Tonelli 定理，得到

\begin{aligned} \sum_\ell\|Jh_\ell\|_2^2 &=\int_X\sum_\ell h_\ell(x)^2\,d\mu(x)\\ &=\int_X\|k_x\|_{H_k}^2\,d\mu(x)=M. \end{aligned} \tag{8}

还不能只写“所以紧”。令 $P_m$ 投影到前 $m$ 个 $h_\ell$ 。对有限尾和，用三角不等式和数列 Cauchy–Schwarz；再以 $J$ 的连续性取极限，便得

\|(J-JP_m)h\|_2 \le\left(\sum_{\ell>m}\|Jh_\ell\|_2^2\right)^{1/2}\|h\|_{H_k}.

右边系数趋零， $JP_m$ 有限秩，所以 $J$ 是有限秩算子的算子范数极限，确实紧。紧性建立后，对 $J$ 使用奇异系统，并在式(8)中选择其右奇异基（ $\ker J=\{0\}$ ），便得 $\sum_j s_j(J)^2=M$ ，所以 $\|J\|_{\mathrm{HS}}^2=M$ 。有限维时投影序列在全空间处终止； $H_k=\{0\}$ 时基为空， $J=0$ ，所有式子仍成立。

第三步：把积分算子认作 $JJ^*$

对 $f\in H$ ，映射 $h\mapsto\int_X f(x)h(x)\,d\mu(x)$ 是 $H_k$ 上的有界线性泛函，故由 Hilbert 伴随得到 $J^*f$ 。它也有向量积分表达

J^*f=\int_X f(y)k_y\,d\mu(y). \tag{9}

这不是形式记号：连续的可分特征映射保证强可测，而

\int_X|f(y)|\|k_y\|_{H_k}\,d\mu(y) \le\|f\|_2\sqrt M<\infty

保证 Bochner 积分存在；与任意 $h$ 配对，就验证了式(9)。不使用向量积分时，也可直接用上述有界泛函定义 $J^*f$ ，再取 $h=k_x$ 得到同一个逐点公式：

(J^*f)(x)=\int_X k(x,y)f(y)\,d\mu(y).

因此 $JJ^*=T$ ，右边自然有连续代表。 $J$ 紧使 $T$ 紧；伴随规则使 $T$ 自伴； $\langle f,Tf\rangle=\|J^*f\|_{H_k}^2\ge0$ 给正性。这里没有先假定核的迹公式。

第四步：用右奇异基先证明逐点对角式

对 $T$ 的正特征对，令

u_j=\frac{J^*e_j}{\sqrt{\lambda_j}}\in H_k.

由紧算子的完整奇异系统，这些 $u_j$ 是 $(\ker J)^\perp=H_k$ 的完备正交规范基，并有

Ju_j=\sqrt{\lambda_j}\,e_j.

因而选 $e_j(x)=u_j(x)/\sqrt{\lambda_j}$ 作为连续代表；全支撑保证连续代表唯一。这里 $u_j$ 是 $J$ 输入端的右奇异向量，而 $e_j$ 是输出端的左奇异向量。

现在对每个固定的 $x$ ，在 $H_k$ 内对 $k_x$ 用 Parseval：

k(x,x)=\|k_x\|_{H_k}^2 =\sum_j\langle u_j,k_x\rangle_{H_k}^2 =\sum_j u_j(x)^2 =\sum_j\lambda_j e_j(x)^2. \tag{10}

这已经是处处成立的对角恒等式，尚未对 $x$ 积分。同样展开 $\langle k_y,k_x\rangle_{H_k}$ ，得到式(1)；数列 Cauchy–Schwarz 使其逐点绝对收敛。

正谱为空时，奇异系统的完备性使 $H_k=\{0\}$ ，因此 $k\equiv0$ ，不是只在乘积空间几乎处处为零。有限正谱则给有限和；它不要求 $H$ 本身有限维或 $\ker T=\{0\}$ 。

第五步：Dini 把逐点控制升为统一控制

式(10)给 $r_N(x)\downarrow0$ 。每个 $r_N$ 连续，定义域紧，极限零函数连续，所以Dini 定理给 $\|r_N\|_\infty\to0$ 。对两个点的尾系数再用 Cauchy–Schwarz，

\begin{aligned} \sum_{j>N}\lambda_j|e_j(x)e_j(y)| &\le\left(\sum_{j>N}\lambda_j e_j(x)^2\right)^{1/2} \left(\sum_{j>N}\lambda_j e_j(y)^2\right)^{1/2}\\ &=\sqrt{r_N(x)r_N(y)}. \end{aligned}

于是绝对值级数的尾也在整个 $X\times X$ 上一致趋零。这证明式(6)以及 Mercer 的绝对一致收敛，未假定所有特征函数具有一个共同的上确界范数界，也未声称 $\sum_j\lambda_j\|e_j\|_\infty^2$ 一定有限。

第六步：此时才积分，并验证换基不改正迹

对式(10)用 Tonelli；由于 $\int e_j^2\,d\mu=1$ ，

M=\int_X\sum_j\lambda_j e_j(x)^2\,d\mu =\sum_j\lambda_j.

再取 $H$ 的任意完备正交规范基 $(f_m)$ 。谱展开给非负二次型

\langle f_m,Tf_m\rangle=\sum_j\lambda_j|\langle e_j,f_m\rangle|^2.

对非负双重和换序，随后对每个 $e_j$ 用 Parseval，得到

\begin{aligned} \sum_m\langle f_m,Tf_m\rangle &=\sum_j\lambda_j\sum_m|\langle e_j,f_m\rangle|^2\\ &=\sum_j\lambda_j=M. \end{aligned}

核方向贡献零；即使换基后不再显式列出核向量，内层 Parseval 仍等于一。这就是式(4)的基无关性证明，不需要非自伴算子的 Lidskii 定理或任意乘积的循环迹规则。

HS 恒等式也要在当前的 $X$ 上验证，不能把区间版本的定义域悄悄扩张。对任意基 $(f_m)$ ，连续有界核的每个截面都在 $L^2(X,\mu)$ 中，截面 Parseval 与 Tonelli 给

\begin{aligned} \sum_m\|Tf_m\|_2^2 &=\int_X\sum_m\left|\int_X k(x,y)f_m(y)\,d\mu(y)\right|^2d\mu(x)\\ &=\iint k(x,y)^2\,d\mu(y)d\mu(x). \end{aligned}

另一方面，谱展开和同一个非负双重和计算给左边 $=\sum_j\lambda_j^2$ ，证明式(3)。对正余算子 $T-T_N$ 重复计算，就得到式(5)。算子范数尾则由谱展开的平方估计及单位输入 $e_{N+1}$ 取等号得到。

第七步：加权等式只交换非负项

将已经逐点成立的式(10)乘以 $w$ ，Tonelli 立即给式(7)，允许两边共同为 $+\infty$ 。同理

\int_X w r_N\,d\mu =\sum_{j>N}\lambda_j\int_X w e_j^2\,d\mu. \tag{11}

若总和有限，这是一个收敛非负数项级数的尾，故趋零。若总和无限，式(11)仍合法，却不能写成未经检查的“总量减去已保留量”；两者都无限时会出现无定义的 $\infty-\infty$ 。

例子与边界

Brownian 协方差：先确认乘积方向，再读出谱

在 $[0,1]$ 取 Lebesgue 测度及 $k(s,t)=\min(s,t)$ 。高斯过程页已用指标函数特征表示证明它是 PSD 核；它也连续，故满足本页条件。

已有 Volterra 算子 $Vf(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ 及 $V^*f(t)=\int_t^1f(s)\,ds$ 。因为 $f\in L^2[0,1]\subset L^1[0,1]$ ，三角域上的绝对积分有限，Fubini 定理给

(VV^*f)(x)=\int_0^x\int_t^1 f(s)\,ds\,dt =\int_0^1\min(x,s)f(s)\,ds.

所以协方差算子是 $C=VV^*$ ，不是 $V^*V$ 。后者对应的混合端点方向相反。

复用 Volterra 已完整证明的左右奇异系统，记

\omega_n=(n-\tfrac12)\pi,\qquad \sigma_n=\omega_n^{-1},\qquad e_n(x)=u_n(x)=\sqrt2\sin(\omega_nx).

由 $V^*u_n=\sigma_nv_n$ 、 $Vv_n=\sigma_nu_n$ ，

Ce_n=\lambda_ne_n,\qquad \lambda_n=\omega_n^{-2}.

左侧族 $(u_n)$ 的完备性和 $\ker V^*=\{0\}$ 已在奇异系统页证明，所以这些 $e_n$ 覆盖整个 $L^2[0,1]$ 。这里没有把“找到候选特征函数”冒充“找到全部谱”。

不逐项求和，直接得到三个准确总量

对角线积分、平方核积分与首个特征值分别给

\operatorname{tr}C=\int_0^1x\,dx=\frac12,

\|C\|_{\mathrm{HS}}^2 =2\int_0^1\int_0^s t^2\,dt\,ds=\frac16, \qquad \|C\|_{\mathrm{op}}=\frac4{\pi^2}. \tag{12}

因此 $\sum_n\omega_n^{-2}=1/2$ 、 $\sum_n\omega_n^{-4}=1/6$ 。这两个级数和是核积分的结论，没有从预知的 zeta 值倒推迹。

保留前 $N$ 个模态，写

\begin{aligned} R_N&:=\operatorname{tr}(C-C_N)=\frac12-\sum_{n\le N}\omega_n^{-2},\\ S_N&:=\|C-C_N\|_{\mathrm{HS}}^2=\frac16-\sum_{n\le N}\omega_n^{-4},\\ O_N&:=\|C-C_N\|_{\mathrm{op}}=\frac1{\pi^2(N+\tfrac12)^2}. \end{aligned} \tag{13}

这些减法合法，因为两个总量有限。若 $N\ge1$ ，还有可证明的包围

\frac1{\pi^2(N+\tfrac12)}\le R_N\le\frac1{\pi^2(N-\tfrac12)}, \tag{14}

\frac1{3\pi^4(N+\tfrac12)^3}\le S_N \le\frac1{3\pi^4(N-\tfrac12)^3}. \tag{15}

证明不依赖数值采样。对递减函数 $f_p(x)=(x-1/2)^{-p}$ 、 $p>1$ ，每个整数 $n>N$ 都有

\int_n^{n+1}f_p(x)\,dx\le f_p(n) \le\int_{n-1}^n f_p(x)\,dx.

先有限求和，再取非负递增极限，得到

\int_{N+1}^\infty f_p\le\sum_{n>N}f_p(n)\le\int_N^\infty f_p.

计算两个反常积分并取 $p=2,4$ ，就是式(14)–(15)。于是迹尾为 $N^{-1}$ 阶，HS 范数 $\sqrt{S_N}$ 为 $N^{-3/2}$ 阶，算子范数尾为 $N^{-2}$ 阶。由于此例有 $e_n(x)^2\le2$ ，还有

0\le r_N(x)\le2R_N,\qquad \|k-k_N\|_\infty\le2R_N. \tag{16}

共同特征函数上界是这个具体例子额外提供的，不能倒写进一般定理。

图中曲线只作有限采样示意，严格上、下界分别由式(16)和下文式(22)的解析证明保证。

零核、有限秩与非平凡零空间

$k\equiv0$ 的正谱为空，迹、HS 范数和全部尾误差都是零，不对空序列取最大值。

在 $[0,1]$ 上取 $k(x,y)=xy$ 。唯一正特征对是 $\lambda_1=1/3$ 、 $e_1(x)=\sqrt3x$ ，其余与 $x$ 正交的函数组成 $\ker T$ 。直接检查

\int_0^1x^2\,dx=\frac13=\lambda_1,\qquad \iint x^2y^2\,dx\,dy=\frac19=\lambda_1^2.

$N=0$ 时迹尾、HS 范数和算子范数都为 $1/3$ ，但 HS 范数平方是 $1/9$ ； $N\ge1$ 时四者均为零。 $H$ 仍然无限维。这是“正模态只构成 $(\ker T)^\perp$ 的基”的直接实例。

HS 不等于迹类

复用紧谱页的正对角算子 $De_n=e_n/n$ 。它有限截断的算子误差为 $1/(N+1)$ ，所以紧； $\sum_n1/n^2<\infty$ ，所以 HS； $\sum_n1/n=\infty$ ，所以不是迹类。两个级数的成败也可分别由积分比较与按倍增区间分组证明，无需知道平方和的具体值。

若在 $L^2[0,1]$ 的一组基上定义这个算子，乘积正交基使 $\sum_n n^{-1}e_n(x)e_n(y)$ 在二维 $L^2$ 中收敛，得到一个 $L^2$ 核代表。但它不可能拥有满足本定理条件的连续 PSD 核代表，否则式(2)会迫使发散的 $\sum_n1/n$ 有限。

所以紧性只给特征值趋零，HS 再给平方可和，连续正核的逐点结构在这里进一步给一次可和；这三层承诺不能互换。

有界、可测、PSD，仍可能有“错误的对角线”

在 $[0,1]$ 上令

d(x,y)=\mathbf1_{\{x=y\}}.

对角线闭，所以 $d$ 是有界 Borel 函数，且对称。对有限样本按相同取值分组，

\sum_{i,j}a_i a_j d(x_i,x_j) =\sum_{z\in\{x_1,\ldots,x_m\}} \left(\sum_{i:x_i=z}a_i\right)^2\ge0.

因此它甚至保持了有限 Gram 意义的 PSD。可是每个单点的 Lebesgue 测度为零，故 $d=0$ 于二维几乎处处，其积分算子为零；另一方面 $d(x,x)=1$ ，所以 $\int_0^1d(x,x)\,dx=1$ 。若无声删除正则性条件，所谓迹公式便成了 $0=1$ 。

同样， $\min(x,y)+d(x,y)$ 与 Brownian 核给出相同的 $L^2$ 算子 $C$ ，但其对角积分是 $3/2$ 。这不是数值误差，而是任意核代表无法确定对角线。连续特征映射及其可分 RKHS 正是前面避开这个陷阱的机制。

全支撑也有具体边界：取离散紧空间 $X=\{a,b\}$ 、 $\mu=\delta_a$ 和单位矩阵核 $k(a,a)=k(b,b)=1$ 、 $k(a,b)=0$ 。 $L^2(\mu)$ 只看见 $a$ 模态，按积分产生的连续特征代表在 $b$ 为零，不能恢复 $k(b,b)=1$ 。限制到支撑 $\{a\}$ 后，谱展开才与原核完全一致。

推论与应用

把谱尾解释成真正的随机函数损失

取标准 Brownian 运动的连续版本 $W$ 于 $[0,1]$ 。在共同的路径异常零集上置零后，连续路径与各坐标可测保证 $(\omega,x)\mapsto W_x(\omega)$ 联合可测：用二进网格的分段常值过程逐点逼近即可。Tonelli 给

\mathbb E\int_0^1W_x^2\,dx=\int_0^1x\,dx=\frac12.

因此几乎每条路径属于 $L^2$ 。定义普通的路径 Lebesgue 积分

c_n=\int_0^1W_xe_n(x)\,dx,\qquad W_N(x)=\sum_{n\le N}c_ne_n(x). \tag{17}

这是对路径作有限维正交投影；不是未经定义的随机微分积分。Cauchy–Schwarz 给 $\mathbb E c_n^2\le1/2$ ，从而各系数平方可积。

计算协方差前可先验检查换序： $\mathbb E|W_sW_t|\le\sqrt{st}$ ，而每个 $e_n$ 连续有界，所以涉及的二重绝对积分有限。Fubini 与 $Ce_n=\lambda_ne_n$ 给

\mathbb E[c_nc_m]=\iint\min(s,t)e_n(s)e_m(t)\,ds\,dt =\lambda_n\delta_{nm},

\mathbb E[W_xc_n]=\int_0^1\min(x,t)e_n(t)\,dt =\lambda_ne_n(x). \tag{18}

这些系数也确实联合高斯。以网格步长 $h$ 的左端过程 $W_{t_h(x)}$ 替代 $W_x$ ，其积分系数是有限个 Brownian 坐标的线性组合，并有

\left\|\int_0^1(W_x-W_{t_h(x)})e_n(x)\,dx\right\|_{L^2(\Omega)} \le\sqrt h\int_0^1|e_n(x)|\,dx\longrightarrow0.

使用高斯过程页已证明的“有限坐标线性组合的均方极限仍高斯”规则，对有限组系数的任意线性组合重复此论证，得到联合高斯。式(18)的对角协方差遂使 $c_n/\sqrt{\lambda_n}$ 成为相互独立的标准正态族，独立性按任意有限子族理解。

展开有限和的平方，式(18)给每个 $x$ 的准确余方差

\mathbb E|W_x-W_N(x)|^2 =x-\sum_{n\le N}\lambda_ne_n(x)^2=r_N(x).

因此对任意非负可测权 $w$ ，Tonelli 与式(11)给

\begin{aligned} \mathbb E\int_0^1w(x)|W_x-W_N(x)|^2\,dx &=\int_0^1w r_N\,dx\\ &=\sum_{n>N}\lambda_n\int_0^1w e_n^2\,dx. \end{aligned} \tag{19}

特别地 $\mathbb E\|W-W_N\|_{L^2}^2=R_N\to0$ 。这里得到的是积分均方逼近。确定性协方差核的一致 Mercer 收敛，并不在本页证明随机级数几乎处处一致收敛，也没有替任意无限维空间建立高斯测度存在定理。

同一组模态，换成端点附近的奇异损失

保持原来的 Lebesgue 谱坐标，只把误差权改为 $w_\alpha(x)=x^{-\alpha}$ （ $x>0$ ）， $x=0$ 的值任取有限数。由于对角线为 $x$ ，加权总量准确等于

\int_0^1x^{1-\alpha}\,dx =\begin{cases} 1/(2-\alpha),&\alpha<2,\\ +\infty,&\alpha\ge2. \end{cases} \tag{20}

所以 $\alpha<2$ 时

\sum_n\lambda_n\int_0^1x^{-\alpha}e_n(x)^2\,dx=\frac1{2-\alpha},

且式(19)的加权误差趋零。特别是 $\alpha=1$ ：权本身不可积，但核在被固定的端点 $0$ 以 $k(x,x)=x$ 消失，抵消了足够的奇性。

还可以给出这个临界附近实例的定量证书。令 $a_N=2R_N$ ；有限 $N$ 时 $0<a_N\le1$ 。由 $r_N(x)\le x$ 和式(16)，

0\le r_N(x)\le\min\{x,a_N\}.

在 $a_N$ 处分开积分，得到

\begin{aligned} \mathbb E\int_0^1\frac{|W_x-W_N(x)|^2}{x}\,dx &\le\int_0^{a_N}1\,dx+\int_{a_N}^1\frac{a_N}{x}\,dx\\ &=a_N\{1+\log(1/a_N)\}\longrightarrow0. \end{aligned} \tag{21}

这一步解释了为什么不能只用“上确界误差乘 $\int_0^1dx/x$ ”。

而 $\alpha=2$ 不是同一种可控情况。每个固定模态满足

e_n(x)^2/x^2=2\sin^2(\omega_nx)/x^2\le2\omega_n^2,

所以单项加权积分有限；但全部非负模态的加权和由式(20)发散。更强的结论是：每个有限截断的加权误差已经无限。由 $|\sin z|\le|z|$ ，对 $N\ge1$ ，

r_N(x)=x-2\sum_{n\le N}\frac{\sin^2(\omega_nx)}{\omega_n^2} \ge x-2Nx^2\ge\frac x2 \quad\left(0<x\le\frac1{4N}\right).

因此

\int_0^1\frac{r_N(x)}{x^2}\,dx \ge\frac12\int_0^{1/(4N)}\frac{dx}{x}=+\infty. \tag{22}

$N=0$ 时 $r_0(x)=x$ ，结论直接成立。同一下界使所有 $\alpha\ge2$ 的误差也无限。于是本例加权误差趋零恰好发生于 $\alpha<2$ ；普通 $L^2$ 误差却始终趋零。这是更换损失后真实发生的成败转移，证明全过程都没有用 $\infty-\infty$ 。

这不等于把底层 Hilbert 测度改成 $x^{-\alpha}dx$ 后重新求谱。本页未声称原来的 $\lambda_n,e_n$ 还是那个新积分算子的特征系统，也不需要断言新算子是否有界。

已解任务：保留三个模态，交付什么误差证书

任务。 用三个 Brownian 模态近似协方差与随机路径。分别报告迹尾、HS 范数、算子范数；给出核的一致误差界；最后比较 $1/x$ 与 $1/x^2$ 两种损失。哪些部分能靠有限程序复算，哪些仍依赖前面的证明？

解。前三项只涉及有限有理数计算：

\sum_{n=1}^3(n-\tfrac12)^{-2}=\frac{1036}{225},\qquad \sum_{n=1}^3(n-\tfrac12)^{-4}=\frac{821296}{50625}.

代入式(13)，

R_3=\frac12-\frac{1036}{225\pi^2},\quad S_3=\frac16-\frac{821296}{50625\pi^4},\quad O_3=\frac4{49\pi^2}.

作为读数提示，

\begin{aligned} R_3&\approx0.0334722388735025,\\ S_3&\approx0.0001202930993930,\\ \sqrt{S_3}&\approx0.01096782109,\\ O_3&\approx0.0082711170320276. \end{aligned}

这些小数不是经过有向舍入证明的数值包围。精确表达式与式(14)–(15)才是权威证书；例如

\frac2{7\pi^2}\le R_3\le\frac2{5\pi^2},\qquad \frac8{1029\pi^4}\le S_3\le\frac8{375\pi^4}.

随机路径的普通积分均方误差就是 $R_3$ ，不是 $S_3$ 。核的一致误差不超过 $a_3=2R_3$ ； $1/x$ 损失不超过 $a_3\{1+\log(1/a_3)\}$ ； $1/x^2$ 损失则为 $+\infty$ ，端点区间 $(0,1/12]$ 上的 $r_3(x)\ge x/2$ 已足以证明。

下载有限算术读数器，可运行 python foundations-positive-kernel-trace-certificate.py --n 3 --self-test。它用精确分数核对有限系数，输出尾量的精确公式、由解析证明提供的积分比较界以及明确标为近似的浮点读数；自测还覆盖 $N=0$ 、一秩核和重复点的 PSD 分组计算。有限计算不会证明 Mercer 定理、无限谱完备性、无穷和收敛、连续区间上的全域不等式或随机路径收敛；这些责任由本页相应证明承担。

读完后应能独立交付四项：先核对连续性、PSD、有限测度和支撑；从对角线求正谱总质量；按所问范数选择正确尾量；换损失后重新计算加权对角积分，并在发散时直接检查余项而非相减两个无穷。

如果目标是解 $Tf=g$ ，应转向Picard 判据，因为迹有限不保证逆有界或数据真在值域中；若目标是有限样本的主方向，则核 PCA处理的是经验协方差及训练样本重构误差。它们与本页的连续协方差谱质量各自保留准确的输入与输出。

参考资料

Ernesto De Vito、Veronica Umanità、Silvia Villa，An extension of Mercer theorem to matrix-valued measurable kernels，作者托管的 2012-04-23 预印本；Theorem 4.1 及证明，印刷/PDF 页12–14；Theorem 6.1 及证明，印刷/PDF 页20–22。本文只取实标量、紧度量空间、有限全支撑测度的情形，以 RKHS 包含映射及完整奇异系统证明逐点展开，再直接计算正迹。
Gerald Teschl，Mathematical Methods in Quantum Mechanics，2009 年第一版，PDF 标注版本日期 2009-02-12；§6.3，印刷页139–144／PDF 页151–156，尤其 Lemmas 6.9–6.10、6.13、6.15：HS、迹类的奇异值约定与基无关迹。本文只用正紧算子的非负双重和证明基无关性，不调用一般 Schatten 理想或非自伴 Lidskii 定理。
Brownian 的 $C=VV^*$ 、 $1/2$ 与 $1/6$ 、三个尾量及其积分比较、奇异权阈值与对角反例均在本文独立推导；Volterra 两端系统的完备性复用库内奇异系统页，Brownian 的连续版本与高斯均方极限复用相应概率页。参考中的一般核展开不能代替本页逐点对角式的证明。

形式陈述 ​

Mercer 展开和两个总量 ​

一个截断，对应三种不同的误差 ​

允许不可积的非负损失权 ​

第一步：连续特征映射让点值有可靠来源 ​

第二步：包含映射的平方质量先给紧性 ​

第三步：把积分算子认作 JJ∗ ​

第四步：用右奇异基先证明逐点对角式 ​

第五步：Dini 把逐点控制升为统一控制 ​

第六步：此时才积分，并验证换基不改正迹 ​

第七步：加权等式只交换非负项 ​

Brownian 协方差：先确认乘积方向，再读出谱 ​

不逐项求和，直接得到三个准确总量 ​

零核、有限秩与非平凡零空间 ​

HS 不等于迹类 ​

有界、可测、PSD，仍可能有“错误的对角线” ​

把谱尾解释成真正的随机函数损失 ​

同一组模态，换成端点附近的奇异损失 ​

已解任务：保留三个模态，交付什么误差证书 ​

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