等度连续函数族

逐个查看平滑曲线可能看不出问题：每条曲线都可以连续，却允许后面的曲线在越来越短的距离内完成同样大的变化。等度连续性给整族规定了共同的横向分辨率，让新增成员不能偷偷增加更尖的峰或更快的振荡。

高度和变化速度是两件事。常值函数族 $\{f_c(x)=c:c\in \mathbb{R}\}$ 等度连续，因为每次输入变化都产生零输出变化；但它没有共同高度界。共同 $L$-Lipschitz 条件理路Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。则是特别易检查的等度连续证书：$L>0$ 时统一取 $\delta =\epsilon /L$，$L=0$ 时任意正 $\delta$ 都可用。

为什么紧定义域使局部尺度统一 ​

空定义域无需选择距离尺度，以下设定义域非空。给定 $\epsilon >0$。在每个 $a\in X$ 处，等度连续性给 $r_a>0$，使 $d(a,z)<r_a$ 时全部成员满足 $|f(a)-f(z)|<\epsilon /2$。由紧性，从 $B(a,r_a/2)$ 中选出有限覆盖，对应 $a_1,\dots ,a_m$。取 $\delta =\underset{i}{min}{r}_{a_i}/2$。

若 $d(x,y)<\delta$，先选 $i$ 使 $d(x,a_i)<r_{a_i}/2$，则 $d(y,a_i)<r_{a_i}$，从而

对全部 $f$ 成立。先将覆盖球缩半，再取有限半径的最小值，保证移动后的点仍落在原来的控制邻域。

$x^n$ 逐项连续，却无法共同校准 ​

在 $[0,1]$ 上令 $f_n(x)=x^n$，$n\ge 1$。对 $x_n=2^{-1/n}$，有 $x_n\to 1$，而

固定 $\epsilon =1/3$，无论给多小的 $\delta$，充分大的 $n$ 都会使 $1-x_n<\delta$ 而输出差仍为 $1/2$。因此族在端点 $1$ 不等度连续。每项都是多项式、每项各自一致连续，仍不足以满足族量词。

图中的失败发生在不断靠近端点的输入对上。只检查几个固定采样位置，可能错过所有这些越来越窄的变化区间。

高度界与等度连续性互不代替 ​

$\{x^n:n\ge 1\}$ 共同有界于一却不等度连续；$\{f_c=c:c\in \mathbb{R}\}$ 等度连续却逐点无界。相反，$\{\sqrt{x+a}:0\le a\le 1\}$ 在 $[0,1]$ 上具有共同模 $\rho (h)=\sqrt{h}$，因此等度连续，但包含 $\sqrt{x}$，没有共同有限 Lipschitz 常数。这为后续紧性判据保留了真正宽于导数有界的情形。

非紧定义域上，即使只有一个函数也要区分两个条件。单元素族 $\{x\mapsto x^2\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处等度连续；点对 $n,n+1/n$ 的输入差趋零，输出差趋于二，所以它并非一致等度连续。

逐点界如何变成共同高度界 ​

设 $X$ 紧，$\mathcal{F}$ 等度连续，并且对每个 $x$ 存在 $M_x<\mathrm{\infty }$，使 $|f(x)|\le M_x$ 对全部成员成立。先由一致等度连续性选 $\delta$，让距离小于 $\delta$ 的输出差小于一，再取有限 $\delta$-球覆盖，中心为 $x_1,\dots ,x_m$。则

对全部 $x$ 和 $f$ 成立。因此紧域上的逐点有界加等度连续，已经蕴含一致有界。单独的逐点有界性没有提供这个有限化步骤。

一致收敛序列自动形成等度连续族 ​

若连续的 $f_n$ 一致收敛理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。到 $f$，则 $f$ 连续。固定基点 $x$ 与误差 $\epsilon$，取 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon /3$。再用 $f$ 的连续性控制中间差，三角不等式便同时控制全部尾项；有限个首项分别选择连续性邻域，再与前面的邻域取有限交。因此 $\{f,f_1,f_2,\dots \}$ 等度连续。若定义域紧，上述族还一致等度连续。

这是Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。必要方向的基础：一个能够被有限多个一致误差球近似的函数族，不能比那些有限代表变化得任意更快。充分方向则反过来利用共同变化尺度，把有限采样处的近似扩展到整个定义域。

共同连续模也会保留到一致极限。若 $f_n\to f$ 一致，且各项满足 $|f_n(x)-f_n(y)|\le \rho (d(x,y))$，对固定 $x,y$ 令 $n\to \mathrm{\infty }$ 就得到同一不等式。共同 Lipschitz 常数由此保持；可微性却不保持，例如光滑函数 $\sqrt{x^2+1/n}$ 一致趋于有尖角的 $|x|$。