紧空间

开覆盖把空间描述成任意多块局部信息。紧致性断言：只要这些局部片确实照顾到每一点，最终总能挑出有限块完成同样工作。有限性让逐点选择转化为有限交、有限最大值或统一误差尺度。

紧致不是“空间看起来小”。定义没有距离，因此不知道直径；它控制的是局部资料能否被有限化。欧氏空间中闭且有界恰好等价于紧，是有限维完备结构带来的定理，不是一般直觉的替代定义。

网刻画把同一机制翻译成极限语言：任意移动方式都能抽出一条有归宿的子网。紧致负责提供极限的存在，Hausdorff 性负责极限的唯一；两项任务彼此独立。

闭区间 $[0,1]$ 紧。一个直接的开覆盖证明从覆盖 $\mathcal{U}$ 出发，令

包含 $0$ 的某个覆盖成员说明 $S$ 非空。由实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。，$c=supS$ 存在。若 $c<1$，取包含 $c$ 的开集 $U\in \mathcal{U}$；$U$ 在 $c$ 两侧含一小段，而靠近 $c$ 的某个 $x\in S$ 已有有限覆盖，加上 $U$ 就能把可有限覆盖的区间推进到 $c$ 右侧，矛盾。因此 $c=1$，再用同一邻域论证得到整个区间的有限子覆盖。

开区间 $(0,1)$ 不紧。相对开覆盖

覆盖每个正点，但任意有限子族等于其中最大的一个 $(1/N,1)$，仍漏掉靠近 $0$ 的点。缺失端点让覆盖无法在有限阶段封口。

无限离散空间不紧，因为单点开集族没有有限子覆盖。有限空间无论赋予什么拓扑都紧：对每个点选一个覆盖成员，最多只需选择点数那么多个。

开覆盖中的“子覆盖”必须从原覆盖挑选，不能另造一个大开集来替换。例如不能把 $(0,1)$ 的覆盖成员合并为 $(0,1)$ 后宣称只用了一项；该并集本来不在给定覆盖中。这是有限化要求实际具有约束力的原因。

无限集合上的余有限拓扑也是紧的。任取开覆盖，先选一个非空成员；它只漏掉有限多个点，再为每个漏点补选一个覆盖成员即可。这个空间通常不是 Hausdorff，说明紧致本身不推出分离性，也不保证紧子集闭。

在度量空间中，以下条件等价：开覆盖紧致；每个序列有收敛子列；空间完备且全有界。全有界要求对每个 $\epsilon >0$ 都可由有限个半径 $\epsilon$ 的球覆盖，比存在一个有限直径界强得多。

无限维 Hilbert 空间的闭单位球完备且有界，却因标准单位向量彼此距离 $\sqrt{2}$ 而不全有界，所以不紧。这个例子标出了“闭且有界”离开有限维 Euclidean 空间后失效的原因。

连续像保持紧致。给 $f(X)$ 一个开覆盖，拉回到 $X$ 后取有限子覆盖，再把相应目标开集取回即可。有限个紧子集的并也紧，可分别取有限子覆盖后合并。

紧空间的闭子集理路闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。紧：覆盖闭集 $F$ 的开集加上 $X\setminus F$ 后覆盖整个空间。反向“紧子集闭”需要环境 Hausdorff理路Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。。证明对外点 $y$ 与紧集内每个 $x$ 取不交邻域，再由紧性保留有限多个，便能同时分开 $y$ 与整个紧集。

于是，从紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射自动是同胚。定义域的紧性保证闭集像紧，陪域的 Hausdorff 性把紧像变成闭集；两项合起来证明映射闭，从而得到逆连续。

紧致与收敛的关系也要按条件分层。任意紧空间中，每个网都有收敛子网；若再 Hausdorff，该子网的极限一旦指定便唯一，但原网仍可能振荡而不收敛。二点离散空间中的交替序列就有两个常值子列，却没有自身极限。

紧致与连通性互不推出。$[0,1]$ 同时紧且连通，二点离散空间紧而不连通，$\mathbb{R}$ 连通而不紧。在非空空间上，二者结合才得到更强的整体结构，例如实值连续函数的像是非空紧区间，因而同时取得最值并满足介值性质。

任意多个紧空间的积在积拓扑中仍紧，这是Tychonoff 定理理路Tychonoff 定理Tychonoff theorem任意指标集上的紧空间乘积在积拓扑下仍然紧，并在一般形式下与选择公理等价。。有限积可用覆盖论证直接证明；无限积的完整版本涉及选择公理，且不能把“有限坐标限制”替换成箱拓扑。

度量情形的完整刻画 ​

下面把“紧”“每列有收敛子列”和“完备且全有界”之间的桥梁补齐，所有距离和球都取同一个度量。全有界中的有限网使用空间内的中心与开球；换成闭球不会改变“每个正尺度均有有限网”的性质。

先设度量空间 $X$ 紧。半径 $\epsilon$ 的全部开球构成覆盖，所以它全有界。任取序列 $(x_n)$，尾集闭包 $F_m=\overline{\{x_n:n\ge m\}}$ 是递减的非空闭集族。有限交性质给出 $p\in \bigcap _m{F}_m$。对每个 $k$，利用 $p$ 属于每个尾集闭包，可以选择严格递增的下标 $n_k$，使 $d(x_{n_k},p)<1/k$，故得到收敛子列。若原列还是Cauchy列理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。，先使尾项彼此相距小于 $\epsilon /2$，再取该尾部中一项子列使其距 $p$ 小于 $\epsilon /2$，三角不等式便把整列带到 $p$。因此 $X$ 是完备度量空间理路完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。。

反过来，设 $X$ 完备且全有界。给任意序列，在有限个半径 $2^{-1}$ 的覆盖球中，至少一个球包含无穷多个序号；保留这些序号。在保留序号中，再用半径 $2^{-2}$ 的有限覆盖保留某球内无穷多个序号，如此递推。得到递减的无穷下标集 $I_k$，其中每个 $I_k$ 对应的值均位于某个半径 $2^{-k}$ 的球内。选严格递增的 $n_k\in I_k$。当 $j,\ell \ge k$，有 $d(x_{n_j},x_{n_{\ell }})<2^{1-k}$，所以抽出的子列为Cauchy列。完备性给其在 $X$ 中的极限。

最后证明“每列有收敛子列”推出开覆盖紧。它首先推出全有界：否则某个 $\epsilon >0$ 下可以递归选出点，每次避开前面有限个半径 $\epsilon$ 的球，所得点两两相距至少 $\epsilon$，不可能有收敛子列。

给定任意开覆盖 $\mathcal{U}$，必存在 $r>0$，使每个球 $B(x,r)$ 都包含在某个覆盖成员中。否则对每个 $n$ 可选 $x_n$，使 $B(x_n,1/n)$ 不包含于任何成员。抽取 $x_{n_k}\to x$，选 $U\in \mathcal{U}$ 含 $x$，再选 $s>0$ 使 $B(x,s)\subset U$。充分大的 $k$ 同时满足 $d(x_{n_k},x)<s/2$ 与 $1/n_k<s/2$，便有 $B(x_{n_k},1/n_k)\subset U$，矛盾。有了这个 $r$，再用全有界性选有限个半径 $r$ 的球覆盖 $X$，为每个球取相应的 $U$，即得原覆盖的有限子覆盖。空空间的全部结论直接成立。

相对紧必须指明环境空间 ​

对子集 $A\subset X$，称它在 $X$ 中相对紧，是指 ${\bar{A}}^X$ 紧。在完备度量环境 $X$ 中，这等价于 $A$ 全有界。一个方向是紧集及其子集全有界；若原有球心不在子集中，从每个相交的小球里选一个子集点，半径至多加倍，仍可得到任意所需精度的内部有限网。另一个方向先用半径 $\epsilon /3$ 的网控制 $A$，再近似每个闭包点，得到闭包的半径 $\epsilon$ 网；闭包是完备空间的闭子集，故由上面已证刻画而紧。

环境完备性不能无声省去。$(0,1)$ 在通常距离下全有界；作为 $\mathbb{R}$ 的子集，它的闭包为紧集 $[0,1]$，所以相对紧；作为自身的子集，它的闭包仍是 $(0,1)$，却不紧。Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。把这套刻画用到完备的一致范数函数空间：先由有限采样证明函数族全有界，再由闭包取得紧性。