Schauder 紧像不动点定理

无限维集合 $C$ 可能装着无限多彼此分离的方向，但映射的全部输出如果集中在一个相对紧的集合里，就能在每个误差尺度上用有限个点近似。为了保留连续性，不能简单把输出跳到最近网点；最近点可能随输入突然切换。我们改用连续变化的非负权重，将附近网点混合起来。

这样一来，原映射就被连续地近似成一个值落在有限凸包中的映射。这个凸包仍在 $C$ 内，且真正只有有限维。先用 Brouwer 找到近似映射的不动点，再让网越来越细。紧性保证这些近似对象留下极限，逼近误差保证极限固定于原映射。

图只画二维截面来展示凸组合；定理允许 $X$ 无限维。图中的短线段对应 $\Vert P_{\epsilon }(y)-y\Vert <\epsilon$，不是到真实不动点的误差界。

第一步：有限网的中心留在原集合内 ​

因为 $C$ 闭且 $F(C)\subset C$，所以紧集 $K\subset C$。固定 $\epsilon >0$，从 $K$ 的半径 $\epsilon$ 开球覆盖取有限子覆盖，得到中心

令

由于 $C$ 凸，$D_{\epsilon }\subset C$。这个集合是有限维概率单纯形在连续映射 $\lambda \mapsto \sum _i{\lambda }_i{z}_i$ 下的像，所以非空紧凸。

网点不必线性无关，也不必仿射无关。实际工作空间是

它的维数 $r\le m-1$，可选一组真正的基把它与 ${\mathbb{R}}^r$ 连续双向识别。$D_{\epsilon }$ 在这个仿射包内是非空紧凸集，正好可以使用有限维定理；$r=0$ 时它只是单点。

第二步：构造连续权重，而非不连续的最近点选择 ​

对 $y\in K$ 定义

每个 $a_i$ 连续。开球确实覆盖 $K$，所以对每个 $y\in K$ 至少有一个 $\Vert y-z_i\Vert <\epsilon$，相应的 $a_i(y)>0$，分母从不为零。故 $P_{\epsilon }:K\to D_{\epsilon }$ 连续，且权重非负、和为一。

只有距 $y$ 严格小于 $\epsilon$ 的网点才有正权重。因此

这里不需要 $K$ 凸：凸性用在了更大的 $C$ 上，保证混合输出合法。$P_{\epsilon }$ 也不必是投影，不要求它固定每一个 $D_{\epsilon }$ 中的点，甚至不要求 $D_{\epsilon }\subset K$。

第三步：先得到近似固定点，再闭合极限 ​

考虑

这个复合有定义，因为 $D_{\epsilon }\subset C$，而 $F(D_{\epsilon })\subset F(C)\subset K$。它连续。把 $D_{\epsilon }$ 放在其实际有限维仿射包中，由Brouwer 不动点定理理路Brouwer 不动点定理Brouwer fixed-point theorem闭球到自身的任意连续映射都有不动点。，存在 $x_{\epsilon }\in D_{\epsilon }$ 满足

取 ${\epsilon }_n=1/n$，简记 $x_n=x_{{\epsilon }_n}$。要抽取的是 $F(x_n)\in K$：由 $K$ 紧，某子列 $F(x_{n_k})\to y\in K$。再用残差界，

于是 $x_{n_k}\to y\in C$。$F$ 在 $C$ 上连续，给出 $F(x_{n_k})\to F(y)$；同一序列已趋于 $y$，故 $F(y)=y$。证明至此闭合，并没有假设 $C$ 紧来抽取 $x_n$。

一个确实不压缩的非线性积分方程 ​

在实连续函数空间 $X=C[0,1]$ 中使用一致范数，并取

连续函数空间在一致范数下完备理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，所以 $X$ 是 Banach 空间。$C$ 含零函数，闭且凸。连续核与连续非线性使每个 $Fu$ 都连续。还需要逐项检查自映射、连续性与紧像，不能仅凭“积分算子通常是紧的”跳过。

自映射。 对 $0\le x,t\le 1$ 有 $(1+x)e^{xt}\le 2e^t$，且 $|\sin (8u(t))|\le 1$。因此

最后只用了 $e<3$，所以 $F$ 确实把整个球送回自身。

在一致范数下连续。 由 $|\sin a-\sin b|\le |a-b|$，

这个常数大于一足以证明连续，却不足以断言“不是压缩”；一个粗糙上界大，并不能排除存在更好的小常数。下面会给真正排除压缩的下界。

像相对紧。 关于 $x$ 求导时，核及其导数在紧方形上连续，差商可一致控制后移入积分。于是

因为 $e^{xt}\le e$ 且 $1+(1+x)t\le 3$，全部输出都有共同导数界

这给共同 Lipschitz 常数，与刚才的共同高度界一起满足Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。的条件，所以 $F(C)$ 在 $C[0,1]$ 中相对紧。紧的是像的闭包，不是整个连续函数球。

Schauder 定理现在给出 $u_{\ast }\in C$，对所有 $x\in [0,1]$ 满足原来的非线性积分方程。零函数不是它，因为 $F0(x)=x$。由像的导数界，还知道这个存在的解属于 $C^1[0,1]$，并满足同一导数上界。

为什么不能把这一步交给 Banach 压缩定理。 令 $u_a(t)\equiv a$，$0<|a|\le 2$，则 $\Vert u_a-0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=|a|$，而在输出位置 $x=0$ 有

所以

这是 $F$ 在零函数沿常函数方向的导数经过 $x=0$ 评价后的值。任何整个球上的 Lipschitz 常数都至少为 $2$，因而在这个指定球及一致范数上，不存在 $q<1$ 的压缩常数。Banach 定理理路Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。所需的条件确实失败；Schauder 仍然保证解存在。

闭且有界不能代替紧像 ​

在实序列空间 ${\ell }^2$ 的闭单位球 $B$ 上，定义

它连续，且 $\Vert Sx{\Vert }_2^2=1-\Vert x{\Vert }_2^2+\Vert x{\Vert }_2^2=1$，所以是非空闭有界凸集上的自映射。若 $x=Sx$，后续坐标递推迫使所有坐标都等于 $x_1$；平方可和性又迫使 $x_1=0$，于是 $x=0$。但 $S0=(1,0,\dots )\ne 0$，矛盾，所以没有不动点。

缺失条件可直接定位：对标准单位向量 $e_n$，$S(e_n)=e_{n+1}$，两两距离都是 $\sqrt{2}$，像没有相对紧性。不是闭球的凸性或完备性出了问题。

有解之后，仍有哪些问题没有回答 ​

恒等映射在紧区间上满足定理，却每个点都是不动点，所以不能推出唯一。即使不动点唯一，直接迭代也可能形成周期，具体例子已在Brouwer 页的推论与应用理路Brouwer 不动点定理Brouwer fixed-point theorem闭球到自身的任意连续映射都有不动点。给出。上面证明的 $x_n$ 是不同有限维近似映射各自的不动点，不是 $F$ 的一条直接迭代轨道。

存在性的证明也没有给出数值停止公式 $\Vert u-u_{\ast }\Vert \le c\Vert u-Fu\Vert$。这种稳定性证书在压缩情形可由 $1/(1-q)$ 给出，而当前积分方程没有相应的 $q<1$。有限网可证明近似固定点存在，不等于已经提供高效的求解算法。

连续核与非光滑非线性的迁移 ​

设 $g\in C[0,1]$，$k\in C([0,1{]}^2)$，$\varphi$ 在 $[0,1]\times [-R,R]$ 连续，其中 $R>0$。令

记 $B=\underset{t,|z|\le R}{max}|\varphi (t,z)|$、$A=\underset{x}{sup}{\int }_0^1|k(x,t)|dt$。若

便得到自映射。紧矩形上的一致连续性理路一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。给 $\varphi$ 一个统一状态连续模 $\eta$，故

输出还满足共同增量界

右侧随 $|x-y|\to 0$ 一致趋零；共同高度界与 Ascoli 给相对紧像，再由本定理得到解。这个迁移不要求核可微，也不要求 $\varphi$ 对状态 Lipschitz。

例如取 $g(x)=x/2$、$k(x,t)=1+|x-t|$、$\varphi (t,z)=\sqrt{|z|}$、$\lambda =1/4$、$R=2$。有 $B=\sqrt{2}$，并且

所以自映射界为 $1/2+3\sqrt{2}/8<2$；连续性由 $\Vert Tu-Tv{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le (3/8)\sqrt{\Vert u-v{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}$ 给出。核满足 $|k(x,t)-k(y,t)|\le |x-y|$，输出共同 Lipschitz 常数为 $1/2+\sqrt{2}/4$。虽然核在对角线上有尖角，非线性在零处也不 Lipschitz，这三个检查仍完整成立。

与变分存在性的分工 ​

直接法理路变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，以一维点值与三维紧嵌入分别完成四次势能的唯一弱解及精确算例。从强制、弱下半连续的能量取得极小点；本定理从连续紧像自映射取得固定点。前面的核 $(1+x)e^{xt}$ 不对称，积分方程中也没有提供符合直接法条件的能量。不能把“它是非线性方程”当作已经满足能量输入。若要采用直接法，还需另行构造能量，并验证它的强制性与弱下半连续性。

沿从函数族紧性到连续方程有解可把 Peano 的折线残差与本页的固定点残差放在一起检查；若手中真正给的是能量，则转向已有的弱紧性与极小点路线。