Peano 存在定理与 Euler 折线

Euler 折线在每个网点读取一次向量场，然后沿这个方向走到下一个网点。它在一小段内使用了稍旧的时间和状态，因此通常不精确满足微分方程。然而，只要所有箭头都不长于 $M$，这些折线就都不能走得太快。选好总时间后，它们也不会离开我们掌握向量场的区域。

共同速度界提供紧性，保证至少能挑出一批越来越细、彼此一致接近的折线。还有一步同样重要：必须证明它们遗漏的方程量趋于零。这个量适合写成积分残差，因为折线在拐点未必有导数，而积分恒等式在整个区间都有意义。

图中每段直线只使用左端点的斜率，细网格也仍是近似曲线。证明控制的是

而不是预先知道某条精确解后量出的距离。

第一步：构造每一段，并保证读数始终合法 ​

取任意有限分割

令 $y_h(t_0)=y_0$，并递推定义

构造要先有依据才能继续：若前面的网点已定义且留在球中，当前斜率的范数就至多为 $M$。从初值累加所有已完成段与当前段的位移，得到

由归纳，每个新网点及整段都留在球内，下一次 $f$ 求值因此合法。对任意两个时刻，把它们之间的路程按网点分开，同样得到

如果从固定步长生成网格，就把最后一段截成终点剩余的长度。上面的证明使用实际段长，并不要求 $T/h$ 为整数。$M=0$ 时，圆柱上 $f\equiv 0$，所有折线就是常值 $y_0$，定理直接成立。

第二步：把冻结斜率的偏差变成一致残差 ​

在 $Q$ 上使用距离 $|(t-s)|+\Vert z-w\Vert$。紧集上的连续函数一致连续理路一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。，因此可定义一个趋零的连续模理路连续模Modulus of continuity · 模连续性把输入分辨率转成全域振幅上界，并据此给采样、折线逼近与误差验证分配精度。

有限维紧性保证这个上确界有限，且 $\omega (r)\to 0$。对 $s\in [{\tau }_j,{\tau }_{j+1}]$，时间偏移至多为 $h$，状态偏移至多为 $Mh$，所以

令 ${\sigma }_h(s)$ 是所在网格段的左端点；在最后端点任意选相邻段，不影响积分。逐段积分折线的常斜率，得到严格恒等式

两个积分相减，便有

这里只比较相近输入处的连续向量场，没有引入状态 Lipschitz 常数。

第三步：取得子列，并把方程传给极限 ​

取一列最大步长 $h_n\to 0$ 的分割。全部折线共同有界且有共同 Lipschitz 常数 $M$。对第一个坐标使用Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。抽取一致收敛子列，再对第二个坐标从该子列继续抽取，依次进行有限次。最后一个子列的全部 $d$ 个坐标同时一致收敛。由

可知存在 $y_{h_{n_k}}\to y$ 于向量值一致范数。一致极限保连续理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，而对闭球约束取极限，得到 $y(t)\in \bar{B}(y_0,b)$。

记 $e_k=\Vert y_{h_{n_k}}-y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。同一连续模给出

于是，对每个 $t\in I$，甚至对整个区间同时成立，

因此积分方程精确成立。被积函数连续，逐坐标应用微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。，就得到经典微分方程及初值。证明没有对折线的导数直接取极限。

连续平方根右端的完整认证 ​

考虑

在矩形 $Q=[0,1/4]\times [-1,1]$ 上，右端连续且

取 $b=1$，则 $MT=5/16<1$，所以任意分割产生的 Euler 折线都留在矩形中；所有折线有共同速度界 $5/4$。事实上斜率非负，折线还满足 $0\le y_h(t)\le 5/16$，但存在性证明不需要这份更小的范围。

对任意实数 $u,v$，由绝对值的三角不等式和平方根差的估计，有

所以在每个网格段，冻结斜率与当前右端的差至多为

积分长度最多为 $1/4$，得到可直接检查的证书

右侧趋于零，共同界又给一致收敛子列，所以极限满足这个具体方程。这里 $f(t,\cdot )$ 在零附近不 Lipschitz：正数 $z$ 与零的差商是 $1/\sqrt{z}$。本证明因而没有借用 Picard 压缩条件。

若想让这份积分残差证书不超过 $1/100$，可取 $h\le 1/1000$。因为

其中平方后是 $1250<1521$，所以右侧严格小于 $1/100$。这只是一个方便的充分步长，不是最佳值，更不是“距某条指定解小于 $1/100$”的声明。

时间向左走时如何改写 ​

若连续圆柱位于 $[t_0-a,t_0]\times \bar{B}(y_0,b)$，令 $s=t_0-t$、$z(s)=y(t_0-s)$。方程变成

新的右端仍连续，并有同一个高度界 $M$，因此正向证明完全适用。再把参数换回来，就得到向后的解。两侧圆柱都可用时，在 $t_0$ 拼接各自的解；两边导数都等于 $f(t_0,y_0)$，拼接后仍是 $C^1$。

紧性留下子列，不能代替唯一性或稳定性 ​

上面的结论是：每列越来越细的合法分割，都有一个子列一致趋于某条解。它没有指定抽取哪些下标，也没有控制整个序列到一条选定解的速度。连续右端可以有多解，具体等待解见Picard–Lindelöf 页的例子与边界理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。。

若另外已经证明：在这个函数球中解唯一，那么整列折线便可由紧性升级为一致收敛。反证：若整列不趋于这条唯一解，就有一个子列始终距该解至少某个 $\epsilon >0$；再对它抽取收敛子列，上面的残差证明使其极限也是解，与唯一性矛盾。这个推理仍不给显式速度。把残差换成解误差，需要另外的稳定性估计；Euler 方法理路Euler 方法Euler method · Forward Euler · Backward Euler以前向与后向 Euler 建立一阶时间步进基线，并用局部缺陷、全局误差和测试方程放大因子揭示适用边界。中的全局一阶误差使用了状态 Lipschitz 和精确解的额外光滑性。

状态有限维也是实质条件。逐坐标抽取在有限次后能够结束；一般无限维 Banach 值域里，有界并不保证各点评值相对紧。常值函数 $t\mapsto e_n$ 就共同有界、共同零 Lipschitz，却彼此保持正距离，详见Ascoli 页的值域边界理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。。不能把本页定理无条件换成 Banach 空间中的 ODE 存在定理。

迁移到耦合向量场 ​

例如初值为 $(0,0)$ 的二维系统

在 $[0,1/4]\times \bar{B}(0,1)$ 上连续。欧氏范数下可以取 $M=\sqrt{(5/4{)}^2+1}=\sqrt{41}/4$，且 $MT=\sqrt{41}/16<1$。同样的折线构造与有限次坐标抽取给出经典向量解。

如果还需要显式残差，对同一网格段使用 $\Vert x_h(s)-x_h({\tau }_j){\Vert }_2\le Mh$，便有

这里重新合成了两个坐标的误差，不能直接把标量例中的常数 $5/4$ 当成整个向量场的欧氏范数界。

从这份证明读出存在性任务的三个关口 ​

给近似对象一个共同控制，使它们有合法极限；证明它们对原方程的残差一致消失；最后检查方程在所选极限下保持。Euler 更新只是产生近似对象的一种方式。Schauder 紧像不动点定理理路Schauder 紧像不动点定理Schauder fixed-point theorem · Schauder compact mapping theorem · 绍德尔不动点定理把连续自映射的相对紧像近似进有限维凸包，由 Brouwer 取得近似不动点，再以紧性得到非线性积分方程的解。使用有限维凸包上的近似不动点，随后也要靠紧性与残差闭合极限。

可在连续方程的存在性终点任务中检查不足整步的末段、平方根残差预算及向量迁移；这些检查不需要先写出精确解。