拓扑空间中的收敛

收敛没有要求点列在图形上直线靠近极限。它只要求任何预先指定的局部观察窗口，最终都能把余下全部项留在里面。极限由空间的邻域系统决定，索引只负责组织“最终”。

序列只能按可数步骤推进。若一个点附近有不可数多项彼此独立的局部条件，就未必能把它们排成一张自然数清单。网允许用“已经满足的有限条件集合”作索引；有向性保证任意两个阶段之后仍有一个共同的更晚阶段。

加细拓扑会增加邻域，因此收敛更严格；加粗拓扑会删除检验条件，更多网可能获得极限。极限是否唯一则是另一问题，它由分离性质控制，而不是由索引是否是序列决定。

离散空间中，$\{p\}$ 是 $p$ 的邻域，所以网收敛到 $p$ 当且仅当它最终恒等于 $p$。平凡拓扑中每点唯一的开邻域是全空间，于是每个网收敛到每个点。

在 Sierpiński 空间 $\{0,1\}$、拓扑 $\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}$ 中，常值网 $x_{\alpha }=1$ 同时收敛到 $1$ 和 $0$：它显然最终进入 $\{1\}$，而 $0$ 的唯一邻域是全空间。这个非唯一性来自空间非 Hausdorff，并非网定义的缺陷。

设 $I$ 不可数，$X=\{0,1{\}}^I$ 取积拓扑公理库积拓扑Product topology在笛卡尔积上由有限坐标条件生成、并使所有坐标投影连续的最粗拓扑。，$E$ 为所有有限支撑点。恒为 $1$ 的点 $\mathbf{1}$ 位于 $\bar{E}$。按有限子集 $F\subseteq I$ 的包含关系定向，令 $x_F$ 在 $F$ 上取 $1$、其余坐标取 $0$；若基本邻域指定有限坐标集合 $J$ 均取 $1$，就选阶段 $F_0=J$；所有后续 $F\supseteq J$ 都满足该邻域要求，所以 $x_F\to \mathbf{1}$。这里阈值依赖邻域，不需要存在一个有限 $F_0$ 同时覆盖所有坐标。

却没有 $E$ 中的序列收敛到 $\mathbf{1}$。一列有限支撑点的支撑并至多可数，取 $i\in I$ 落在该并之外，则这一列在第 $i$ 坐标始终为 $0$，不可能逐坐标收敛到 $1$。这精确展示了序列遗漏闭包点的方式。

对子网也要保留“最终访问每个原尾部”的条件。一个常值子族即使从原网取值，也可能只停留在早期反复出现的项上；若索引映射不共尾，它不能用于判定紧致性或聚点。

Hausdorff 空间公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。中，网的极限至多一个。若 $x_{\alpha }$ 同时趋于不同点 $p,q$，取不交邻域 $U\ni p$、$V\ni q$；网最终同时落入二者，与 $U\cap V=\varnothing$ 矛盾。反过来，若每个网至多有一个极限，则空间必 Hausdorff，所以极限唯一性恰好刻画 Hausdorff 条件。

第一可数空间公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。在每点有可数局部基，可以沿基逐层选点。因此序列足以检测闭包与连续性。度量空间属于此类；但第一可数本身并不保证所有关于紧致性的序列版本都与开覆盖紧致自动等价，相关结论仍需核对附加条件。

积拓扑中的网收敛恰好等价于逐坐标收敛：若 $x_{\alpha }\to x$，连续投影给出每个坐标收敛；反向只需注意每个基本邻域限制有限多个坐标，再由有向性找到同时满足这些坐标条件的阶段。箱拓扑允许无限坐标同时受限，故不再享有这一简单刻画。

商空间中的收敛没有同样无条件的“逐纤维”规则。连续商投影会把原空间收敛网送成商空间收敛网，但商中的每个收敛网未必能在不取子网、也不加额外条件时提升成原空间收敛网。把积与商的泛性质机械类比，会在这里产生错误结论。