函数列一致收敛

逐点收敛理路函数列逐点收敛Pointwise convergence对定义域中每个固定点，函数值序列分别收敛。为每个位置单独安排达到精度的时间；一致收敛给整个定义域一个共同期限。可以在 $f$ 的图像上下各留出宽 $\epsilon$ 的带状区域：从第 $N$ 项起，$f_n$ 的整张图像都落在其中。

这一控制解释了一致极限为何保持连续。若 $E$ 配有拓扑，且各 $f_n$ 按拓扑意义连续理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。，先选定一个 $n$，使 $f_n$ 与 $f$ 在所有点的差都小于 $\epsilon /3$；再用这个 $f_n$ 在 $x_0$ 处的连续性，令邻近 $x$ 满足 $|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon /3$。于是

共同的误差界同时控制了 $x$ 与 $x_0$ 两端，连续性负责中间一步。

经验风险的一致收敛理路经验风险的一致收敛Uniform convergence of empirical risks以高概率同时控制整个假设类的经验风险与总体风险偏差。把同样的统一控制用于随机函数：用高概率界约束整个假设类上的 $\underset{h}{sup}|{\hat{R}}_n(h)-R(h)|$。这里 $h$ 是索引，误差随样本变化；普通函数列的一致收敛则直接研究一列给定函数的最大误差。

$f_n(x)=x^n$ 是标准的对照实验。在 $[0,a]$（$0<a<1$）上，$\underset{x\in [0,a]}{sup}|x^n-0|=a^n\to 0$，收敛一致。但在 $[0,1]$ 上，逐点极限是 $x<1$ 时取 $0$、$x=1$ 时取 $1$ 的函数，且 $\underset{x\in [0,1)}{sup}|x^n-0|=1$ 不趋于零：越靠近 $1$ 的点收敛越慢，找不到公共的 $N$。这个逐点极限在 $1$ 处不连续，也与连续函数的一致极限性质相吻合。

无界定义域给出另一类边界情形：$f_n(x)=x/n$ 在 $\mathbb{R}$ 上逐点趋于 $0$，但 $\underset{x\in \mathbb{R}}{sup}|x/n|=+\mathrm{\infty }$，在全直线上不一致；而在每个有界集 $\{|x|\le R\}$ 上误差上界为 $R/n\to 0$，收敛一致。这说明收敛范围也是一致收敛陈述的一部分。

一致收敛还给出积分误差的直接估计。先取实值函数，若各 $f_n$ 在有限闭区间 $[a,b]$（$a<b$）上 Riemann 可积且 $f_n\rightrightarrows f$，则 $f$ 可积。为避免先假设极限可积，记 $e_n=sup|f_n-f|$，使用Darboux 判据理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。：

先选 $n$ 使第二项小，再选分割 $P$ 使第一项小，即证明 $f$ 可积；此后才使用

复值函数分别对实部与虚部应用同一论证。

求导会放大高频振荡。例如 $f_n(x)=\sin \left(nx\right)/\sqrt{n}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛到 $0$，但 $f_n^{\prime }(0)=\sqrt{n}$ 发散。一个不要求导数连续的正确交换条件是：各 $f_n$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微，$f_n^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 一致收敛到 $g$，并且 $f_n(x_0)$ 在某个 $x_0\in [a,b]$ 收敛。则 $f_n$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $f$，而 $f$ 在 $(a,b)$ 可微且 $f^{\prime }=g$。

证明用中值定理的增量界理路中值定理Mean value theorem由等高端点与内部极值导出平均变化率，区分 Lagrange、Rolle、Cauchy 版本并给出可计算的增量界。，对实值或按欧氏范数识别的复值函数均有

这先给出一致 Cauchy 性。固定内部点 $x$，对 $f_m-f_n$ 再用同一增量界，然后让 $m\to \mathrm{\infty }$，得到

先选 $n$ 使右侧小，再令 $h\to 0$ 并使用固定 $f_n$ 的可微性，就得到 $f^{\prime }(x)=g(x)$。端点仅承诺连续性，不把未定义的双侧导数写进结论。

全纯函数有更强的保持性质：在开集的每个紧子集上一致收敛，已经足以保证极限全纯，并保证各阶导数也在每个紧子集上一致收敛。正规族与 Montel 定理理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。先由 Cauchy 核证明这一结论，再说明局部一致有界的全纯函数族如何产生这样的收敛子列；$z^n$ 在单位圆盘上的例子同时展示了“每个紧集上一致”与“整个开集上一致”的区别。

对于有界函数，一致收敛就是上确界范数 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in E}{sup}|f(x)|$ 意义下的收敛，因而是函数空间理论的原型：$E$ 上有界函数全体在此范数下完备，闭区间上的连续函数空间 $C([a,b])$ 是其中的闭子空间，构成 Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。；完备性的证明正是一致 Cauchy 判据加上连续性保持定理。对函数级数，Weierstrass M 判别法理路Weierstrass M 判别法Weierstrass M-test若函数项被一个收敛数项级数逐项一致控制，则函数级数绝对且一致收敛。把一致收敛归结为一个数项级数的收敛，是最常用的验证手段；幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。在收敛圆盘内的每个紧子集上一致收敛，和函数的连续性与逐项积分由此而来。

Bernstein 构造证明的 Weierstrass 逼近定理理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。断言：对闭区间上的每个连续函数 $f$ 和每个 $\epsilon >0$，都存在多项式 $p$ 使 $\underset{x}{sup}|f(x)-p(x)|<\epsilon$。该构造给出明确的多项式和连续模误差界；Lipschitz 目标还可由容差直接选定次数。样条插值理路样条与分段多项式插值Spline interpolation以光滑拼接的低次分段多项式完成插值，并用边界条件与带状线性系统确定三次样条。也以全区间最大误差衡量逼近质量；若任务还涉及斜率，则同时估计 $f^{\prime }-s^{\prime }$，使函数值与导数各自的精度都明确。

跳跃函数的 Fourier 部分和在远离跳点处逐点改善，却无法在包含跳点的整段上一致逼近。Gibbs 现象理路Fourier 的 Gibbs 现象Gibbs phenomenon用方波的缩放极限解释间断旁不消失的超调高度，并区分逐点、积分与一致误差。进一步算出振荡带缩窄而峰高不消失的缩放极限。

若只知道逐点极限，可以另查条件能否升级收敛方式：Dini 定理理路Dini 单调一致收敛定理Dini's theorem · Dini monotone convergence theorem在紧定义域上，把连续函数列朝连续极限的单调逐点收敛提升为一致收敛。使用紧定义域、连续极限和序号单调性，得到整列一致收敛；Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。则用等度连续与逐点有界取得一致收敛子列。后者不预先指定极限，也不保证原序列本身收敛。