Stone–Weierstrass 定理

分离点保证函数库能看出任意两个位置的差别；含常数和线性组合把这种差别校准为指定的两个目标值。乘法再通过多项式组合提供绝对值以及最大、最小操作。有限次最大和最小可以将两点的正确取值拼成整个紧空间上的逼近。

证明的关键不是先为每点单独选一个函数，然后假设它们会自动拼合。它需要两轮有限覆盖：第一轮保证近似从下方不落后太多，第二轮保证从上方不超出太多。

第一步：一致闭包中可以取最大和最小 ​

令 $B=\bar{A}$。它仍为代数。加法和数乘可直接传极限；若 $a_n\to a,b_n\to b$ 一致，则 $\Vert a_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 有界，并且

因此乘法也保留。

对 $b\in B$，取 $R\ge \Vert b{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$、$R>0$。构造型 Weierstrass 定理理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。给出在 $[-R,R]$ 上一致趋于 $|t|$ 的实多项式 $p_n(t)$。因 $B$ 含常数且对乘法封闭，$p_n\circ b\in B$；误差不超过区间上的多项式误差，所以 $|b|\in B$。于是

均属于 $B$。这一步只在实值函数中使用有序的最大、最小。

第二步：由两点插值拼出全域误差带 ​

固定 $f\in C(K,\mathbb{R})$ 和 $\eta >0$。对任意 $x,y$，可找 $a_{x,y}\in A$ 满足 $a_{x,y}(x)=f(x)$、$a_{x,y}(y)=f(y)$：若 $x=y$，用常数；若 $x\ne y$，选分离它们的 $u\in A$，取

先固定 $x$。当 $y$ 遍历 $K$，开集 $\{z:a_{x,y}(z)>f(z)-\eta \}$ 覆盖 $K$，因为各自包含对应的 $y$。取有限子覆盖，令 $g_x$ 为对应有限个 $a_{x,y}$ 的最大值。则 $g_x\in B$、$g_x>f-\eta$ 于全域，而且 $g_x(x)=f(x)$。

现在让 $x$ 遍历 $K$。开集 $\{z:g_x(z)<f(z)+\eta \}$ 又覆盖 $K$。取有限子覆盖，令 $h$ 为对应有限个 $g_x$ 的最小值。每个 $g_x$ 都大于 $f-\eta$，至少一个在任意指定位置小于 $f+\eta$，所以

$h\in B$。为得到最终 $A$ 中的函数，对目标 $\epsilon$ 先取 $\eta =\epsilon /3$，再按闭包定义选 $a\in A$ 使 $\Vert a-h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon /3$；于是 $\Vert a-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$。实版本证毕。

复版本如何回到实版本 ​

设 $A$ 自共轭，令 $A_{\mathbb{R}}$ 为其中的实值函数。对任意 $a\in A$，

均属于 $A_{\mathbb{R}}$。若 $a(x)\ne a(y)$，实部或虚部至少有一个分离这两点，故 $A_{\mathbb{R}}$ 是含常数、分离点的实代数。用已证实版本分别逼近目标复函数的实部与虚部，误差各取小于 $\epsilon /2$，相加即得复函数的误差小于 $\epsilon$。

偶幂能否逼近取决于定义域 ​

$A=\{p(x^2):p\in \mathbb{R}[t]\}$ 在 $[0,1]$ 上含常数并分离点，因为 $x\mapsto x^2$ 单射，因此可以逼近每个连续函数。比如逼近 $x$ 可先在 $[0,1]$ 上用多项式逼近 $\sqrt{t}$，再代入 $t=x^2$。

把定义域换成 $[-1,1]$ 后，$A$ 不能分离 $x$ 与 $-x$。任何 $a\in A$ 满足 $a(1)=a(-1)=c$，从而对目标 $f(x)=x$，有

同样的代数表达式，在不同定义域上有完全不同的逼近能力。

缺少常数或乘法闭合 ​

在 $[0,1]$ 上，所有常数项为零的多项式形成分离点的代数，却全在零点取零，因而不能以误差小于一逼近常数一。常数条件防止整库共同消失在某一点。

只取仿射函数 $a+bx$ 的线性空间则含常数并分离点，但不对乘法封闭。若它以误差 $\epsilon$ 逼近 $x^2$，在 $0,1/2,1$ 的三个误差的二阶差分给出 $1/2\le 4\epsilon$，故 $\epsilon \ge 1/8$。实际直线 $x-1/8$ 达到该下界。分离点的线性空间还不足以替代代数。

复数情形不能省掉共轭条件 ​

在单位圆 $S^1=\{z:|z|=1\}$ 上，仅用 $z$ 的复多项式形成含常数、分离点的代数。然而它不能一致逼近 $\overline{z}$。对任意这样的多项式 $p$，直接按参数 $z=e^{it}$ 计算积分理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。：

因为每个 $e^{i(k+1)t}$ 的整周期积分为零。因此 $\underset{|z|=1}{sup}|p(z)-\overline{z}|\ge 1$。加入 $\overline{z}$ 后，代数对共轭封闭，复定理才给出全部连续函数的稠密性。在单位圆上 $\overline{z}=z^{-1}$，所以这也解释了三角多项式为何同时允许正、负频率。

可观察特征何时足够 ​

若 $K\subset {\mathbb{R}}^d$ 紧，坐标函数 $x_1,\dots ,x_d$ 分离点，它们生成的实多项式代数含常数，所以多元多项式在 $C(K,\mathbb{R})$ 中稠密。若改用一组不能分离点的特征，所有由其多项式组合而来的函数都在不可分辨点上取相同值，不能逼近把那两点分开的目标。

例如圆周上的特征仅有 $x$ 时，关于横轴对称的两点不能区分；加上 $y$ 后便可分离全部点。这个检验先问表示能力，再问具体逼近算法的精度和成本。

含常数条件的更一般版本 ​

实版本可将“含常数”放宽为“没有共同零点”：每个 $x\in K$ 都有某个 $a_x\in A$ 满足 $a_x(x)\ne 0$。连续性与紧性给有限个 $a_1,\dots ,a_m$，使 $q=\sum _i{a}_i^2$ 在全域严格正。于是存在 $0<c\le q\le C$。

在 $[c,C]$ 上用多项式 $p_j$ 一致逼近 $1/t$，则 $q{p}_j(q)\in A$，因为它只含 $q$ 的正次幂，并且 $q{p}_j(q)\to 1$ 一致。故 $1\in \bar{A}$；对闭包应用已证实版本即得稠密。复自共轭代数改取 $q=\sum _i{a}_i{\overline{a}}_i$，其余相同。这明确了较常用的含常数版本与更一般教材版本之间的关系。