Korovkin 三测试函数定理

可以把正线性操作看成保留非负权重的平均，允许总权重略有偏差。测试一检查总量，一次函数检查平均位置，二次函数检查分散程度。总量接近一、位置接近 $x$、二阶偏差趋零时，远离 $x$ 的读数就不可能持续占有显著权重。

证明并不假设算子已经写成求和或积分，也不用先建立表示定理。正性允许直接把点态误差不等式交给 $L_n$，三个测试再把其中的二次函数完整算出。

由三个缺陷控制任意函数 ​

记

固定 $x$ 后，把 $q_x(t)=(t-x{)}^2$ 看作关于输入 $t$ 的非负函数。线性性给出

所以 $\Vert x\mapsto (L_n{q}_x)(x){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le a_{n,2}+2a_{n,1}+a_{n,0}$。最后一项的符号是正号；测试缺陷中必须保留它，因为 $L_{n}1$ 未必恰好为一。

令 $M=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，${\omega }_f$ 为连续模理路连续模Modulus of continuity · 模连续性把输入分辨率转成全域振幅上界，并据此给采样、折线逼近与误差验证分配精度。。任取 $\delta >0$，近处用连续模、远处用幅度界，可对全部 $t,x$ 写成

对输入变量 $t$ 施加 $L_n$，再在输出位置 $x$ 取值。正性给 $|L_n(f-f(x)1)|\le L_n|f-f(x)1|$，补回常数缺陷后得到

给定 $\epsilon$，先利用连续性选 $\delta$ 使第一项在尾部小于 $\epsilon /2$；这里可用 $\Vert L_{n}1\Vert \le 2$。再选 $n$ 使其余测试误差项小于 $\epsilon /2$，就得到一致收敛。

Bernstein构造和折线构造共用同一检验 ​

Bernstein 算子理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。满足

权重非负说明它为正线性算子，三个测试误差分别为零、零、$1/(4n)$，因此 Korovkin 定理再次给所有连续函数的一致逼近。

换成一张最大步长为 $h$ 的分割，令 $I_{h}f$ 为分段线性插值。它由相邻两个样本的非负凸组合给出，故正且线性；它精确保一和一次函数。在单元 $[a,b]$ 内，直接展开端点插值可得

只要一列网格的最大步长趋零，同一定理就证明 $I_{h}f\to f$ 一致。输出现在是折线而非单一多项式，三测试接口仍适用。

只通过一和一次函数不够 ​

固定算子 $Pf(x)=(1-x)f(0)+xf(1)$ 为正线性算子，也精确保一和一次函数。但 $P{t}^2=x$，对 $t^2$ 的最大误差为 $1/4$。即使重复使用它无穷次，逼近误差也不下降。二次测试排除了总量、均值正确却仍向远端分散权重的情形。

正性不能由三个测试反推 ​

定义线性泛函

逐项代入得到 $\ell (1)=\ell (t)=\ell (t^2)=0$，所以三个测试对全部 $n$ 完全正确。但是 $\ell (t^3)=2/9$，故 $L_n{t}^3=t^3+2n/9$ 发散。

这些算子缺的正是正性。取非负函数 $g(t)=(1-t{)}^3$，有 $\ell (g)=-2/9$，于是 $(L_{n}g)(1)=-2n/9<0$。允许带符号的操作后，前三个矩可以抵消得很漂亮，却藏着任意大的高阶误差。

分清逐函数收敛与算子范数收敛 ​

即使 Bernstein 算子对每个连续 $f$ 都收敛，也没有 $\Vert B_n-I\Vert \to 0$。对每个固定 $n$，取一个连续函数 $f_n$，在全部网点 $k/n$ 为零，在某个网格间隙峰高为一，且 $0\le f_n\le 1$。则 $B_n{f}_n=0$，因此 $\Vert (B_n-I)f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。这个反例随 $n$ 改变目标函数，恰好展示了两种量词的差别。

在紧函数类上可得到统一保证 ​

若 $F\subset C[0,1]$ 在一致范数下紧，且 $L_{n}f\to f$ 对每个固定 $f$ 成立、$\underset{n}{sup}\Vert L_n\Vert \le C<\mathrm{\infty }$，则

证明先取 $F$ 的有限 $\eta$-网 $g_1,\dots ,g_m$。有限多个代表的误差同时趋零；对 $\Vert f-g_i\Vert <\eta$，有

先选小的 $\eta$ 再选大的 $n$ 即得。Korovkin 的常数测试保证所需的共同算子界，Arzelà–Ascoli 定理理路Arzelà–Ascoli 定理Arzela-Ascoli theorem · Ascoli theorem · 阿尔泽拉–阿斯科利定理刻画紧度量空间上标量连续函数族在一致范数中的相对紧性，并说明闭性、值域与端点条件各自的作用。则可用共同高度和共同连续模提供这样的紧函数类。因而三测试不仅处理一个目标，还能处理一族已经获得紧性证书的目标。