局部环

几何上，极大理想对应闭点，所以局部环的素谱只有一个闭点。剩余域 $R/\mathfrak{m}$ 可以看作该点的数值域：$\mathfrak{m}$ 中的元素取值为零，其余元素取值非零，并且在环内已经可逆。这使“某个元素是否可逆”化成了剩余域中的非零判断。

若 $x\in \mathfrak{m}$，则 $1-x$ 在剩余域中的值为 $1$，所以是单位。这个判据支撑 Nakayama 引理和逐阶提升论证；在形式幂级数环中，它体现为熟悉的恒等式 $(1-t{)}^{-1}=1+t+t^2+\cdots$。

域 $k$ 是最直接的例子，唯一极大理想为 $(0)$。整数在素数 $p$ 处的局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 由分母不被 $p$ 整除的分数组成；其中分子也不被 $p$ 整除的元素可逆，其余元素组成唯一极大理想 $p{\mathbb{Z}}_{(p)}$。形式幂级数环公理库形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。

的唯一极大理想是 $(t)$：幂级数当且仅当常数项非零时可逆，其逆可逐项递归求出。这里 $t$ 不是幂零元，说明局部环的极大理想远不必等于幂零根。

对任何域 $k$，多项式环 $k[x]$ 都不是局部环，因为 $(x)$ 与 $(x-1)$ 是两个不同极大理想。在 $(x)$ 处局部化得到 $k[x{]}_{(x)}$ 后，所有在原点取值非零的多项式都变得可逆，唯一极大理想就是由 $x$ 生成的理想。

唯一极大理想仍可包含其他素理想。例如 $k[x,y{]}_{(x,y)}$ 中有

只是唯一的极大理想为 $(x,y)$。

若 $(R,\mathfrak{m})$ 局部且 $I⊊R$，则 $I\subseteq \mathfrak{m}$，商环 $R/I$ 仍局部，唯一极大理想为 $\mathfrak{m}/I$。取子环则没有这种保持性质：域 $\mathbb{Q}$ 是局部环，它的子环 $\mathbb{Z}$ 却有无穷多个极大理想 $(p)$。

局部环中也不存在非平凡幂等元。若 $e^2=e$，则 $e(1-e)=0$；而 $e+(1-e)=1$ 保证二者至少一个是单位。若 $e$ 是单位便有 $e=1$，若 $1-e$ 是单位便有 $e=0$。因此局部环不能分解为两个非零环的直积：那样会产生幂等元 $(1,0)$。

局部环把有限生成模问题化为剩余域上的线性代数。对有限生成 $R$-模 $M$，商 $M/\mathfrak{m}M$ 是 $k$-向量空间；其一组基的任意提升会生成 $M$。最小生成元个数因此等于

这正是Nakayama 引理公理库Nakayama 引理Nakayama's lemma用 Jacobson 根或局部环极大理想控制有限生成模的消失与生成元提升的引理。的核心后果。

对任意素理想 $\mathfrak{p}$，局部化 $R_{\mathfrak{p}}$ 的唯一极大理想是 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$。研究代数空间在一点附近的结构时，就转而研究这个局部环。例如 Noether 局部环是否正则，可以比较它的 Krull 维数与 ${\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$：前者记录素理想链的长度，后者记录极大理想所需的最少生成元个数，二者相等时该局部环正则。

局部结构还可以通过逐次取商来测量。正则序列公理库正则序列Regular sequence逐次在商模上检查非零因子得到正则序列，展示独立约束、单位排除条件，以及非局部环境中的顺序风险。要求每个新元素在此前的商模上仍为非零因子，并保留非零最终商；对有限模且元素在极大理想内，Nakayama 引理排除了用单位把模直接消掉的退化情形。