连续模

一致连续性告诉我们可以把误差做小；连续模进一步说明要把采样间距缩小到什么程度。横轴是输入间距 $h$，纵轴是最坏振幅 ${\omega }_f(h)$。直线型控制表示斜率受到共同限制，平方根型控制则允许原点附近更陡的变化。

若 $f$ 是 $L$-Lipschitz 连续理路Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。函数，则 ${\omega }_f(h)\le Lh$；反过来，这个对所有 $h$ 的界也给出 Lipschitz 条件。类似地，$|f(x)-f(y)|\le H|x-y{|}^{\alpha }$，其中 $0<\alpha \le 1$，对应 ${\omega }_f(h)\le H{h}^{\alpha }$。这里 $H$ 与 $\alpha$ 是误差证书的输入，不能由“连续”二字猜出。

区间上的次可加性还给出缩放规则。将长为 $t>0$ 的线段分成 $m=\lceil t/h\rceil$ 段，每段至多长 $h$，便有

这个规则把一次已知分辨率的控制推广到其他距离；若 $t=0$，不等式直接成立。

三种可逐点核验的模 ​

在 $[0,1]$ 上，$f(x)=x^2$ 满足

若 $y=x+t$、$0\le t\le h$，增量为 $2xt+t^2$，在 $x=1-t$ 时最大，随后 $2t-t^2$ 在 $[0,1]$ 上递增。取 $(x,y)=(1-h,1)$ 达到上界。粗界 $2h$ 虽不精确，却已经足以安排精度。

对 $g(x)=\sqrt{x}$，由 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}$ 及点对 $(0,h)$，得到 ${\omega }_g(h)=\sqrt{h}$（$0\le h\le 1$）；$h\ge 1$ 时等于一。对尖角函数 $v(x)=|x-1/2|$，有

当 $h\le 1/2$，点对 $(1/2,1/2+h)$ 达到 $h$；更大尺度上函数的全振幅只有 $1/2$。因此尖角不妨碍线性的模控制。

定义域中缺少中间点 ​

取 $X=\{0,1\}$、$d(0,1)=1$，令 $f(0)=0,f(1)=1$。那么 $h<1$ 时 ${\omega }_f(h)=0$，$h\ge 1$ 时为 $1$。于是 ${\omega }_f(1)=1>2{\omega }_f(1/2)$。这是区间次可加性不能推广到任意紧度量空间的直接反例。

连续但没有事先给定的统一速率 ​

给定一张有限采样网，总可在相邻两个节点之间放一座连续的三角形尖峰，使节点值全为零而峰高为一。根据节点值构造的零函数看不见这个峰。每座峰各自都一致连续，但峰越窄，所需连续模越差。要从有限采样推出整个区间的误差上界，必须知道这类函数共有的振幅控制。

折线逼近与带噪采样 ​

在分割 $a=x_0<\cdots <x_m=b$ 上，令最大步长为 $h$，$I_{h}f$ 为连接相邻真实采样值的折线。在 $[x_i,x_{i+1}]$ 中令 $\theta =(x-x_i)/(x_{i+1}-x_i)$。由于

两个权重非负且和为一，故

若采样值 $y_i$ 满足 $|y_i-f(x_i)|\le \eta$，相同的凸组合使折线再多出至多 $\eta$ 的误差。因此 $\Vert I_{h}y-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\omega }_f(h)+\eta$。这是采样误差和离散化误差分账的简单实例。

Lipschitz 条件还能把无噪折线误差收紧到 $Lh/2$：上式中的两项分别用 $L\theta \ell$ 和 $L(1-\theta )\ell$，其中 $\ell =x_{i+1}-x_i$，相加为 $2L\ell \theta (1-\theta )\le Lh/2$。

从有限误差表得到全区间证书 ​

设候选近似为 $p$，每个 $x\in [a,b]$ 距某采样节点至多 $r$，节点误差最大为 $E$。用三角不等式得到

若 $f$ 与 $p$ 分别有 Lipschitz 常数 $L_f,L_p$，证书简化为 $E+(L_f+L_p)r$。等距网包含两端点、步长为 $h$ 时，可取 $r=h/2$。这说明密集画图本身没有证明作用；节点间变化的已知上界才把图像检查变成证明。

对整个函数族，若每个成员都满足 ${\omega }_f(h)\le \rho (h)$，其中 $\rho (h)\to 0$，就得到共同等度连续性理路等度连续函数族Equicontinuous family · Uniform equicontinuity · 共同连续模用独立于函数成员的距离阈值控制变化，并在紧定义域上把局部控制统一为共同尺度。。Bernstein 多项式理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。进一步将同一连续模与采样权重的二阶偏差结合，得到不用求导的一致逼近误差。