Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近

固定 $x$ 时，权重 $b_{n,k}(x)$ 非负且和为一。$B_{n}f(x)$ 是若干采样值的加权平均，主要权重集中在 $k/n$ 接近 $x$ 的位置。连续模限制近处样本与 $f(x)$ 的差，权重的二阶偏差则控制远处样本总共能占多少分量。

若用概率语言，$B_{n}f(x)=E[f(S_n/n)]$，其中 $S_n$ 服从参数 $(n,x)$ 的二项分布。但下面只用有限和恒等式，构造和证明都不要求先学习概率论。

三个权重恒等式 ​

二项式展开给出 $\sum _k{b}_{n,k}=1$。利用 $k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$ 得到

同样由 $k(k-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n(n-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2})$，得到

$n=1$ 时第二阶下降阶乘和为零，同一公式仍成立。三个恒等式分别表达总质量、一阶位置和离散程度。

由近远分解证明一致逼近 ​

在误差和 $\sum _k[f(k/n)-f(x)]b_{n,k}(x)$ 中，将索引按 $|k/n-x|\le \delta$ 与大于 $\delta$ 分组。近组的函数差至多为 ${\omega }_f(\delta )$；远组的差至多为 $2\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，而远组总权重满足

这就给出形式陈述中的误差界。为使误差小于给定 $\epsilon$，先取 $\delta$ 使连续模小于 $\epsilon /2$，再取 $n$ 使第二项小于 $\epsilon /2$，两次选择都与 $x$ 无关。

若有 Lipschitz 常数，使用有限加权和的Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。可避免近远分组：

平方根来自二阶偏差，常数 $1/2$ 来自 $x(1-x)$ 的最大值。

给尖角一个完整多项式证书 ​

取 $v(x)=|x-1/2|$。反三角不等式给它的 Lipschitz 常数为一，故

要误差至多 ${10}^{-2}$，取 $n=2500$ 即得一个有明确全部系数的多项式证书。若要求严格小于该值，可取 $n>2500$。不需要把2501项展开成容易误读的单项式系数表。

低次情形可完全手算。$n=4$ 时采样值依次为 $1/2,1/4,0,1/4,1/2$，因此

在 $0\le x\le 1/2$，误差为 $p_4-v=2x^3-x^4$，其导数 $6x^2-4x^3\ge 0$；对称性给另一半区间的误差。因此实际最大误差在 $x=1/2$ 取得，恰为 $3/16$，小于通用上界 $1/4$。

采样不等于插值 ​

对 $f(x)=x^2$，上述矩公式直接给

内点通常不满足 $B_{n}f(k/n)=f(k/n)$，尽管构造使用了这些样本。多项式插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。要求精确穿过所有节点，本构造通过非负平均取得统一稳定与收敛保证，两者不是同一运算。

连续性也不能取消。跳跃函数若被连续多项式一致逼近，一致极限应连续，产生矛盾。对一般连续函数，次数还不能只由 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 与容差决定：固定 $n$ 后，可在相邻网点之间放高为一而所有采样值为零的连续尖峰，此时 $B_{n}f=0$ 而误差为一；其连续模随着尖峰变窄而变差。

按容差构造并求值 ​

已知 $L$ 和目标误差 $\epsilon >0$ 时，可取

采样 $a_k=f(k/n)$，并以这 $n+1$ 个数保存 Bernstein 形式。一次安全避免显式大二项系数的精确算术求值方式是逐层凸组合：初始 $a_k^{(0)}=a_k$，对 $r=1,\dots ,n$ 更新

输出 $a_0^{(n)}$。归纳不变量为

由二项系数递推即可从第 $r-1$ 层推出第 $r$ 层，最终正是 $B_{n}f(x)$。共有 $n(n+1)/2$ 次组合，成本 $O(n^2)$ 算术运算、$O(n)$ 存储；从小到大的下标原地更新不会覆盖尚需读取的右邻值。

若每个样本误差至多 $\eta$，非负且和为一的权重使最终采样误差也至多 $\eta$。因此总证书可加上 $\eta$。浮点舍入误差仍需另行预算，数学一致误差界没有自动包含机器算术误差。

其他正则性与区间 ​

连续模的区间缩放性质配合同一二阶矩给出

确实，${\omega }_f(t)\le (1+\sqrt{n}t){\omega }_f(n^{-1/2})$，取加权和并使用上面的平均距离界即得。若 $f\in C^2[0,1]$ 且 $\Vert f^{″}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le A$，在 $x$ 处作带二阶余项的展开，一阶项因权重均值等于 $x$ 而抵消，从而误差至多 $A/(8n)$。

在非退化闭区间 $[a,b]$ 上，先对 $F(t)=f(a+(b-a)t)$ 构造 $B_{n}F$，再代入 $t=(x-a)/(b-a)$，仍为 $x$ 的多项式。原函数若有 Lipschitz 常数 $L$，新的证书为 $L(b-a)/(2\sqrt{n})$。Stone–Weierstrass 定理理路Stone–Weierstrass 定理Stone-Weierstrass theorem · Stone–Weierstrass approximation · 分离点函数代数以常数、乘法和分离点条件判定实函数代数的稠密性，并解释复版本所需的共轭闭合与失败反例。进一步刻画一般紧空间上的函数代数何时稠密；Korovkin 定理理路Korovkin 三测试函数定理Korovkin theorem · Korovkin approximation theorem · 正线性算子逼近对连续函数上的正线性算子，只需检验一、一次与二次函数便可保证所有连续函数的一致逼近。则抽出这里的三个权重矩，形成正线性逼近的通用检验。