紧算子的 Fredholm 择一

有限维线性方程中，“没有非零齐次解”便等于“每个右端有唯一解”。无限维一般不成立：算子可能单射而不满射，甚至只有稠密但不闭的像。$I-\lambda K$ 中的恒等部分保留大多数方向，紧扰动只留下有限维的障碍，因而恢复了这条有限维式的择一。

障碍由伴随齐次解检测。若 $Au=f$ 且 $A^{\ast }h=0$，那么 $⟨h,f⟩=⟨A^{\ast }h,u⟩=0$。这给必要性；要从“全部障碍都消失”推出真有解，还必须证明值域闭。只有正交恒等式而没有闭值域，最多得到可逼近性。

先解有限秩扰动 ​

设 $L:H\to H$ 有界且有限秩。$L^{\ast }$ 也有限秩，令

这是有限维闭子空间。它在 $L,L^{\ast }$ 下不变，且 $L$ 在 $W^{\perp }$ 上为零：若 $x\perp W$，则对任意 $y$，$⟨y,Lx⟩=⟨L^{\ast }y,x⟩=0$。

由正交分解理路Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。，$B=I-L$ 在 $H=W\oplus W^{\perp }$ 上成为

记有限维方块为 $B_W$。于是值域为 $\mathrm{ran}{B}_W\oplus W^{\perp }$，是闭的；核在 $W$ 内；并且由有限维秩与零化度相加等于维数，

这一步已经给出全部结论的有限维来源。

再把紧扰动化成有限秩扰动 ​

由Hilbert 有限秩逼近理路Hilbert 空间中的有限秩逼近Finite-rank approximation of compact operators · Hilbert compact approximation theorem用紧像的有限网与正交投影构造算子范数近似，并解释固定输入的截断收敛为何远远不够。，选有限秩 $F$ 使 $\Vert \lambda K-F\Vert <1$；$\lambda =0$ 时可取 $F=0$。令

Neumann 级数理路预解算子与预解集Resolvent operator · Resolvent set由复参数移位后的算子逆定义预解集、谱与对扰动敏感性的尺度。给 $G^{-1}=\sum _{n\ge 0}{E}^n$，在算子范数下收敛，因为尾部由几何级数控制。令 $L=G^{-1}F$，仍有限秩，便有准确因式分解

$G$ 是有界可逆算子，所以 $\ker A=\ker B$，且 $\mathrm{ran}A=G(\mathrm{ran}B)$ 闭。映射 $y+\mathrm{ran}B\mapsto Gy+\mathrm{ran}A$ 给两个商空间的线性同构，因此值域余维相等。由此得到

伴随恒等式给 $(\mathrm{ran}A{)}^{\perp }=\ker A^{\ast }$；闭值域再结合正交分解，得到定理中的精确兼容条件和两核等维。

若核为零，$B_W$ 是有限维可逆矩阵，$B^{-1}=B_W^{-1}\oplus I$ 有界，再与 $G^{-1}$ 复合便得到有界 $A^{-1}$。因此无需在此额外引入闭图定理。非齐次解的差满足齐次方程，所以全部解恰为一个特解加核。

非自伴时，检查错核会同时误报与漏报 ​

取

有限维算子自动紧，但 $K\ne K^{\ast }$。直接计算

方程 $A(u_1,u_2)=(-u_2,u_2)=f$ 有解，恰好要求 $f_1+f_2=0$，即与伴随核正交。

$f=(0,1)$ 虽与原核正交，却无解。$f=(-1,1)$ 不与原核正交，却有全部解 $(c,1)$。把兼容条件误写成 $f\perp \ker A$，会在同一个例子中犯两种相反错误。

紧性缺失会破坏择一 ​

在 ${\ell }^2$ 上，右移 $S(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$ 单射，值域是首坐标为零的闭子空间，故不满射。如果形式写成 $S=I-K$，这里 $K=I-S$ 不紧：$K{e}_{2j}=e_{2j}-e_{2j+1}$ 两两正交且范数为 $\sqrt{2}$。因此它不是本定理的反例，而是失败假设的直接见证。

右移的核维数为零、值域余维为一。一般“Fredholm 算子”只要求核、余核有限维且值域闭，其指标是两者维数之差；本定理的紧扰动恒等算子指标为零，并非所有 Fredholm 算子都如此。

小范数只是充分条件 ​

若 $|\lambda |\Vert K\Vert <1$，Neumann 级数直接解方程。但此条件不是唯一可解的必要条件。取非零有限秩正交投影 $P$，$\lambda =2$，则 $(I-2P{)}^2=I$，可逆；此时 $|\lambda |\Vert P\Vert =2$。离开级数的收敛圆盘后，应检查谱与兼容条件，不能宣布方程无解。

自伴情形可直接逐坐标解 ​

设 $K=K^{\ast }$，由紧自伴谱展开理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。写

若 $1-\lambda {\mu }_j$ 全不为零，则

这个式子真属于 $H$：当存在无限项时，${\mu }_j\to 0$，分母趋于一，剩下有限个非零分母也有共同正下界。若某些分母为零，则对应的 $f_j$ 必须为零，而这些方向上的 $u_j$ 自由；非零特征空间有限维保证共振自由度有限。

自伴算子的特征值为实数，因此非实 $\lambda$ 不会令 $1-\lambda {\mu }_j=0$，方程对每个右端唯一可解。接近实共振参数时，某些 $|1-\lambda {\mu }_j|$ 很小，即使尚未无解，解对输入也可能高度敏感。

区间 Green 算子理路区间 Dirichlet Green 算子Dirichlet Green operator on an interval · 区间零边界Green积分算子用正核min(x,t)−xt构造−d²/dx²的零边界逆，证明正则性与全谱，并把共振积分方程准确转为边值问题。的 ${\mu }_j=1/(j\pi {)}^2$，因此共振参数是 $\lambda =(j\pi {)}^2$。在 $\lambda ={\pi }^2$，$f=\sin \pi x$ 不满足兼容条件，无解；$f=\sin 2\pi x$ 满足条件，全部解为 $\frac{4}{3}\sin 2\pi x+c\sin \pi x$。积分核页会把这个标量判断与边值方程逐项对上。

本页完整证明限定 Hilbert 空间。一般 Banach 空间也有紧算子的 Fredholm 择一，兼容条件应写为所有 $\phi \in \ker A^{\prime }$ 对 $f$ 的取值均为零，其中 $A^{\prime }$ 是对偶算子；不能在没有内积的空间仍写“正交补”，也不能直接套用本页依赖 Hilbert 有限秩逼近的证明。

与第一类紧方程的 Picard 判据理路Picard 判据与紧算子的最小范数逆Picard criterion · Picard solvability condition · Moore–Penrose inverse of a compact operator以余核正交和加权平方和同时判定精确可解性，给出最小二乘逆的真正定义域，并算出 Green 数据的 q>5/2 阈值。比较，决定性差别是本页已经证明 $I-\lambda K$ 的值域闭。若直接求 $Kx=y$，无限秩紧算子只有 $\overline{\mathrm{ran}K}=(\ker K^{\ast }{)}^{\perp }$；正交条件之外还要满足 $\sum _n|⟨u_n,y⟩{|}^2/{\sigma }_n^2<\mathrm{\infty }$。例如单射 Green 算子的 $g=\sum n^{-2}{e}_n$ 与余核正交，却没有 $L^2$ 原像。因而不能把本页对恒等紧扰动的充分条件删去恒等项后继续使用。