负 Pell 方程与周期奇偶性

周期末端还要与负号相遇 ​

Pell方程理路Pell 方程的基本解与全部整数解Pell equation · Pell–Fermat equation · Pell方程由周期连分数求正Pell基本解，证明足够精确的有理逼近必为收敛分数，再以范数一单位的缩减证明所有整数解来自基本解的幂。页已经证明两件关键事实。第一，任何正的 $\pm 1$ 解都必须是 $\sqrt{D}$ 的收敛分数，因为它满足严格的 $1/(2y^2)$ 逼近门槛。第二，收敛分数与整数状态满足

因此负Pell解出现，恰好要求 $Q_{n+1}=1$ 且 $n+1$ 为奇数。

周期状态定理理路二次无理数的周期连分数Periodic continued fractions of quadratic irrationals · Lagrange periodic continued fraction theorem · 二次无理数的 Lagrange 周期定理以有界整数状态证明二次无理数的连分数最终周期，并为平方根建立无小数误差的周期计算与准确停止规则。又说明 $Q_j=1$ 恰在 $j=L,2L,3L,\dots$。如果 $L$ 为偶数，这些索引全是偶数，只可能产生范数正一。如果 $L$ 为奇数，第一次索引 $j=L$ 就产生负一，其后恰在奇数倍周期末端再次出现。这给出充要条件，而不只是“试完若干收敛分数没找到”的经验判断。

第一个负一收敛分数具有最小正分母，因而给出最小正 $y$。对固定负范数，$x=\sqrt{D{y}^2-1}$ 也随 $y$ 增长，所以同一答案使 $x+y\sqrt{D}$ 最小。

负范数的基本解为何平方成正基本解 ​

设 $\eta$ 是最小负Pell正解，$\epsilon$ 是正Pell基本单位。奇周期时，负一答案出现在第一轮末端，正一答案在第二轮末端，故 $1<\eta <\epsilon$。同时 ${\eta }^2$ 是一个正Pell解，必有 $\epsilon \le {\eta }^2$。

若严格小于，商 $\epsilon /\eta$ 具有整数坐标，因为 ${\eta }^{-1}=-{\eta }^{\prime }$ 仍有整数坐标。它的范数为负一，且

一个范数负一的数 $\beta >1$，坐标为

于是这个商会给出更小的负Pell正解，矛盾。因此 $\epsilon ={\eta }^2$。

现在任取一个负Pell解 $\alpha =x+y\sqrt{D}$。商 $\alpha /\eta$ 的范数为正一，且仍有整数坐标；正Pell的全部解定理给出 $\alpha /\eta =\pm {\epsilon }^k$。所以 $\alpha =\pm {\eta }^{2k+1}$，这证明了整个列表的覆盖性。反过来，奇次幂的范数确实为负一，故列表没有混入别的对象。

D=13：第一轮产生负一 ​

$\sqrt{13}=[3;\overline{1,1,1,1,6}]$ 的周期长度五为奇数。第一轮末端的收敛分数是 $18/5$，因此

平方后

下一组负Pell正解来自三次幂，而不是二次幂：

其范数仍为负一。乘以 $\eta$ 会改变范数符号，乘以 $\epsilon ={\eta }^2$ 才会留在同一条负范数方程中。

D=34：模根存在，整数负Pell仍无解 ​

精确状态计算给出

第一轮收敛分数为 $5/1,6/1,29/5,35/6$，相应范数为 $-9,2,-9,1$。周期为偶数，后续周期末端仍只有正一，故负Pell无解；正Pell基本解则是 $(35,6)$。

可是 ${13}^2+1=170=5\cdot 34$，所以 $-1$ 在模34下确实有平方根。把这个模根交给两平方和算法理路Cornacchia 算法：两平方和构造Cornacchia algorithm · Cornacchia sum-of-two-squares algorithm · Cornacchia 两平方和算法给定−1的模平方根，以截断欧几里得余数链构造本原两平方和，用余数和系数双不变量证明平方根阈值后的结果恰好等于模数。，会得到 $34=5^2+3^2$。这与负Pell无解完全相容：两平方和方程和 $x^2-34y^2=-1$ 是两种不同的整数问题，同一条必要同余没有让它们变成等价问题。

简单同余能排除什么 ​

若某奇素数 $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ 整除 $D$，负Pell等式模 $p$ 后要求 $x^2\equiv -1$，与负一二次剩余判据理路二次剩余Quadratic residue模奇素数同余于某个平方的非零剩余类。冲突。若 $4\mid D$，模4同样要求平方同余于三。因此可解时，$D$ 没有3模4素因子，且 $4\nmid D$。

这些筛选很便宜，却不是充分条件。34只有素因子2和17，而且不被4整除，仍被偶周期排除。本页没有声称检查一个模数就等于检查所有局部条件；更没有把任何有限组同余试验当成全局可解性证明。

有限的无解证书 ​

对于负Pell，完整、最小且长度为偶数的周期表就是一份无解证书。核验者检查每一步整数状态、首次回返与周期长度，再应用已经证明的范数索引公式，便排除了所有整数解，不需要运行一个永远不停止的搜索。

只给一段部分商列表不够：例如看到 $1,1,1,1$ 不能断定周期为一。要交付的是完全商状态的闭合循环及其最小性，而不只是肉眼能认出的重复文字。

固定右端时选对单位 ​

在广义Pell范数轨道理路广义 Pell 方程的有限范数轨道Generalized Pell norm orbits · Finite orbit reduction of generalized Pell equations · 广义Pell方程的有限种子用整数范数一单位把固定非零右端的广义Pell解缩减到半开基本区间，证明有限且不重复的种子搜索界，并完整列出D=13、N=4的三条轨道。中，乘以范数一单位保持右端 $N$；乘以范数负一单位把 $N$ 变成 $-N$。即使两个方程都可解，它们仍是不同的纤维。上例的 $\eta$ 可在正负纤维之间建立对应，$\epsilon$ 才在各自纤维内移动。

因此“找到一个单位”还不够。构造递推之前，应先检查它所在的整数环、范数符号，以及要保持的是哪条方程。这三项条件在D=13的例子中都能逐式复算。