Eikonal方程的距离解

最近边界给出一条有效的最短线段 ​

$\partial \mathrm{\Omega }$ 非空且紧，由极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。取得最近点 $a$。若 $x\in \mathrm{\Omega }$，令 $r=d(x)>0$，则开球 $B(x,r)$ 包含在 $\mathrm{\Omega }$ 中。否则从 $x$ 向一个球内的域外点走，必先碰到距离小于 $r$ 的边界点，与定义矛盾。

令 $e=(x-a)/r$。当 $0<h<r$ 时，$x-he\in \mathrm{\Omega }$，且

上界来自同一个边界点 $a$，下界来自距离函数的Lipschitz性质。即使整个区域不凸，这一条走向最近边界的短线段仍全部有效。

距离函数的斜率不会超过一 ​

三角不等式给 $|x-a|\le |x-y|+|y-a|$，对 $a$ 取最小值并交换 $x,y$，得到

因此 $d$ 为 $1$-Lipschitz函数理路Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。。这限制了所有接触斜率；(2)又提供一个确实按单位速度下降的方向。两部分分别负责次解和超解条件。

区间中央的尖点不能略过 ​

在 $\mathrm{\Omega }=(-1,1)$，$d(x)=1-|x|$。零点以外斜率为 $\pm 1$；在零点，上接触斜率允许全部 $p\in [-1,1]$，满足 $|p|-1\le 0$，下接触不存在。于是尖点通过黏性检查。

$v(x)=|x|-1$ 的边界值也为零，并在零点以外满足 $|v^{\prime }|=1$，但常数 $-1$ 从下接触它，违反 $|{\varphi }^{\prime }|-1\ge 0$。到达时间不能用这个负帐篷代替。

圆环同时接收两侧边界的传播 ​

若 $\mathrm{\Omega }=\{x:1<|x|<3\}$，则

在 $|x|=2$ 的圆周上，两侧边界同时到达，距离不可微。若只写成 $3-|x|$，它在外圆边界为零，却在内圆边界等于二，未满足本题边界条件。边界的所有分支都会参与最早到达值。

非零边界不能任意指定 ​

一维 $|u^{\prime }|=1$ 的连续黏性解具有相应的斜率限制。若把区间两端相距二的边界值差指定为十，就不再是本页零边界结论的直接推广。一般边界数据与传播代价之间需要兼容条件；本页不宣称任意连续边界值都可用同一距离函数处理。

上接触来自Lipschitz界，下接触来自最短方向 ​

若 $\varphi$ 在内部点 $x$ 从上接触 $d$，Lipschitz估计和任意方向小增量给 $|D\varphi (x)|\le 1$，所以次解条件成立。

若从下接触，取前述最近边界方向 $e$。由(2)，

除以 $h>0$ 并令其趋零，得到 $D\varphi (x)\cdot e\ge 1$。因为 $|e|=1$，所以 $|D\varphi (x)|\ge 1$，超解条件成立。这也解释了某些点为什么没有下接触：若有多个相反的最短方向，它们可能要求同一个梯度同时朝相反方向投影至少一。

严格缩放把比较变成不可能的双斜率 ​

设 $u,v\in C(\bar{\mathrm{\Omega }})$，分别为(1)的次解和超解，边界值都为零。固定 $0<\mu <1$。若 $\varphi$ 从上接触 $\mu u$，则 $\varphi /\mu$ 从上接触 $u$，故

它成为一个严格次解。我们证明 $\mu u\le v$。

反设某个内部点 $x_0$ 满足 $\mu u(x_0)-v(x_0)=\delta >0$。在紧集 ${\bar{\mathrm{\Omega }}}^2$ 上最大化

最大值至少为 $\delta$，由连续函数有界性可得 $|x_{\alpha }-y_{\alpha }|\to 0$。取任意收敛子列，两点趋于同一个 $z$；若 $z\in \partial \mathrm{\Omega }$，连续性和零边界使差 $\mu u(x_{\alpha })-v(y_{\alpha })\to 0$，与最大值至少 $\delta$ 矛盾。因此对充分大的 $\alpha$，两个最大点都在域内。

固定另一变量，(4)分别给 $\mu u$ 的上接触与 $v$ 的下接触，二者空间梯度恰为同一个

由(3)得 $|p|\le \mu$，由超解条件得 $|p|\ge 1$，矛盾。所以 $\mu u\le v$；令 $\mu \uparrow 1$ 得 $u\le v$。若两者都是解，交换角色便得相等。

证明只使用闭包连续、域有界和零边界，没有预先要求一般候选解Lipschitz；因而唯一性解类确实如形式陈述所写。存在性已由距离函数的两个接触检查完成。

单位速度怎样换成固定速度 ​

若传播速度为常数 $c>0$，到达时间为 $\tau =d/c$，满足 $c|D\tau |=1$ 和零边界。将任意候选乘以 $c$ 即回到(1)，同样给唯一性。若速度随位置变化，直线距离通常不再是时间，需要沿路径累计代价；不能仅把 $d(x)$ 除以终点的速度就结束计算。

特征与前沿证书练习把最短方向、尖点测试和Hamilton–Jacobi包络放在一起，要求分别交付局部经典构造与全域黏性唯一性的证据。