一阶方程的黏性解

一侧接触只允许某些斜率 ​

在 $x=0$，若 $\varphi$ 从上方接触 $-|x|$，比较正负小增量可得

任意这个范围内的直线都能从上方接触。下方则没有可微接触曲线：右侧要求斜率不大于 $-1$，左侧要求不小于 $1$，无法同时满足。没有测试函数的一侧，量词条件自动成立；另一侧仍提供真正约束。

经典解与新定义一致 ​

若 $u\in C^1$，在任意接触点都有 $D\varphi =Du$。因此逐点满足(1)的经典解自动满足(2)和(3)。反过来，直接取 $\varphi =u$，同一点既是局部最大也是局部最小，两种不等式合起来给 $F(z,u,Du)=0$。所以对 $C^1$ 函数，新定义没有改变原方程。

一般连续解却不能只用“能找到一条好测试函数”来验收：定义要求所有接触测试都通过。排除候选则只需要找到一条违反相应不等式的测试函数。

同样几乎处处满足绝对斜率一，答案仍不同 ​

在 $(-1,1)$ 中考虑 $|u^{\prime }|-1=0$，两端值均为零。正帐篷

在 $x\ne 0$ 为经典解。尖点上方接触斜率 $p\in [-1,1]$，所以 $|p|-1\le 0$；下方没有可微接触，超解条件自动成立。它是黏性解。

负帐篷

也在零点之外满足同一方程，但常数函数 $\varphi =-1$ 在零点从下方接触它。此时 $|{\varphi }^{\prime }|-1=-1<0$，违反超解条件。不能因为失败只发生在一个点，就删掉这次检查。

二次Hamilton量允许向下尖点 ​

对 $u_t+u_x^2/2=0$，考虑

在 $x\ne 0$，$u_t=-1/2$、$u_x=\pm 1$。在 $(t_0,0)$，任意上接触测试的时间导数必为 $-1/2$，空间斜率 $p$ 位于 $[-1,1]$，故

下接触因空间尖点而不存在，所以这是黏性解。相比之下，$|x|-t/2$ 在 $x=0$ 被 $-t/2$ 从下接触，给出残差 $-1/2$，不是超解。两者在非尖点处的逐点残差完全相同，接触方向却选择了不同结果。

局部一致极限保留接触不等式 ​

设连续 $F_j\to F$ 在 $\mathrm{\Omega }\times \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^m$ 的每个紧子集上一致收敛，$u_j\to u$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 的每个紧子集上一致收敛理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。。若每个 $u_j$ 都是 $F_j=0$ 的黏性次解，则 $u$ 是 $F=0$ 的黏性次解；超解同理。

证明只需追踪接触点。设 $u-\varphi$ 在 $z_0$ 取局部最大。固定 $\delta >0$，令

在一个足够小的闭球上，$u-{\varphi }_{\delta }$ 仅在 $z_0$ 取最大，边界与最大值有严格间隙。由连续函数极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。，$u_j-{\varphi }_{\delta }$ 在该闭球有最大点 $z_j$；一致收敛使充分大 $j$ 的最大点位于球内，并迫使 $z_j\to z_0$。

将 ${\varphi }_{\delta }$ 作为 $u_j$ 的测试函数，得到

三个输入都收敛且留在某个共同紧集内，故取极限得 $F(z_0,u(z_0),D\varphi (z_0))\le 0$。额外二次项在 $z_0$ 的导数为零，不必再让 $\delta$ 趋零。超解改用 $\varphi -\delta |z-z_0{|}^2$ 即可。

证明没有要求 $D{u}_j$ 收敛，甚至没有要求 $u_j$ 可微。它依靠函数值的一致控制，把极值点留在测试区域，再把已知接触不等式传给极限。

稳定性还不是唯一性 ​

一阶黏性比较定理理路自主Hamilton量的黏性比较Viscosity comparison for autonomous Hamiltonians · Doubling variables comparison在整空间有限时间窗及全局时空Lipschitz解类中，以双变量、空间定位和终时屏障证明连续自主Hamilton量的顺序比较、唯一性及残差误差界。在明确的全局Lipschitz解类中，从初值顺序推得全时间窗顺序，才给出唯一性。Hopf–Lax公式理路Hopf–Lax公式Hopf–Lax formula · Hopf-Lax quadratic formula对二次Hamilton量和全局Lipschitz初值，以最小二次代价构造唯一黏性解，证明极小点位移、半群和误差界，并手算正负绝对值初值。提供该类中的存在性；Eikonal距离解理路Eikonal方程的距离解Eikonal distance solution · Zero-boundary eikonal equation · 到边界距离的黏性解在任意非空有界开域上，以到边界距离构造零Dirichlet Eikonal黏性解，用最短线段证明接触条件，再用严格缩放和双变量认证连续闭包解的唯一性。则用另一套有界域边界比较认证正帐篷。

“黏性”这一名称来自添加小扩散后取极限的背景。本页已经证明的是连续一阶算子的接触定义和局部一致稳定性；若要从二阶黏性方程推出极限结论，还须处理二阶测试项，不能把它当作上面 $F_j\to F$ 的直接特例。