Hamilton–Jacobi方程

为什么动量必须沿Hamilton方程变化 ​

先假设 $u$ 足够光滑，令 $P(t)=D_{x}u(t,X(t))$。对(1)按空间微分，再选 $\dot{X}=H_p$，得到

沿同一条曲线，

正是(3)的积分量。这是从已有解推出特征方程的方向；反向构造还要排除“积分出来的 $U$ 与 $P$ 没有梯度关系”的可能。

作用量的标签导数补上反向证明 ​

由ODE参数可微性理路ODE变分方程与参数敏感度Variational equation for ODEs · Smooth dependence of ODE solutions · 常微分方程的初值导数在共同存在窗口中证明非线性ODE对初值和参数可微，构造齐次与非齐次变分方程，并给出一阶近似的余项控制与失效边界。，(2)的流对标签为 $C^1$。固定任意标签方向，记沿它的变化为 $\delta X,\delta P,\delta U$。对(3)的被积函数微分：

初始时 $\delta U=Dg(\xi )\cdot \delta \xi =P(0)\cdot \delta X(0)$，故

矩阵里的 $D_{\xi }U$ 取行向量。它说明标签方向的作用量差，恰由动量作用在位置差上给出。

对映射 $(t,\xi )\mapsto (t,X(t,\xi ))$ 用反函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。；其可逆性等价于 $D_{\xi }X$ 可逆。将(5)与(4)的链式求导比较，便得到 $D_{x}u=P$。再由 $U_t=u_t+D_{x}u\cdot X_t$ 得 $u_t=-H$。存在性证明因此没有要求事先拥有一个待求PDE解。

自由传播与初值曲率 ​

取 $H(p)=|p{|}^2/2$。此时 $P(t,\xi )=Dg(\xi )$，

若一维 $g(\xi )=k{\xi }^2/2$，在 $1+kt\ne 0$ 的局部区域有

$k\ge 0$ 时正时间没有这类投影退化；$k<0$ 时 $t=-1/k$ 出现坍缩。局部行列式不为零只保证局部逆，不能单凭它宣称任意大范围内的标签映射全局一一对应。

谐振子在相空间里没有碰撞 ​

取一维

Hamilton方程给出

对 $|t|<\pi /2$，

直接回代：$u_t=-x^2{\sec }^{2}t/2$，$D_{x}u=-x\tan t$，两项在(1)中抵消。

当 $t=\pi /2$，$X=0$ 对所有标签都成立，$P=-\xi$ 却彼此不同。相空间中的点 $(X,P)=(0,-\xi )$ 没有合并；退化发生在只看 $X$ 的投影。这里称这种位置投影奇异为焦散。短时间经典解的失败与ODE初值唯一性不矛盾。

左图只观察位置，右图同时保留动量；两图中的终时相同，右图没有把不同标签误画成同一个状态。

光滑梯度能转成守恒律 ​

在一维且 $H=H(p)$ 时，若 $u$ 为 $C^2$，对方程按 $x$ 求导，令 $w=u_x$，便有

对 $H(w)=w^2/2$，这是Burgers守恒律理路标量守恒律Scalar conservation law · Scalar hyperbolic conservation law · 一维标量守恒方程以通量散度为零表达标量密度的局部守恒，并用特征速度、激波和稀疏波刻画非线性传播。。这一步有明确的光滑性前提；在尖点之后，需要分别指定Hamilton–Jacobi方程的黏性解与守恒律的熵解，不能把逐点微分当作一般弱解证明。

一阶黏性解理路一阶方程的黏性解First-order viscosity solution · Viscosity subsolution and supersolution · 一阶黏性次解与超解用C¹函数从上和从下接触连续解，给一阶非线性PDE在尖点处的可核判据，证明经典相容与局部一致稳定性，并以正负帐篷区分几乎处处解。用上下接触函数解释不可微点；对二次自主Hamilton量，Hopf–Lax公式理路Hopf–Lax公式Hopf–Lax formula · Hopf-Lax quadratic formula对二次Hamilton量和全局Lipschitz初值，以最小二次代价构造唯一黏性解，证明极小点位移、半群和误差界，并手算正负绝对值初值。直接取一族代价的最小值，并给出经典特征描述失效后仍可认证的解。其唯一性依赖明确的解类与比较定理，不来自随意挑一条穿过焦散的射线。