拟线性方程的特征线法

为什么沿曲线只剩一个导数 ​

若已经有经典解，沿满足 $\dot{X}=a(X,u(X))$ 的位置曲线，由链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。得到

于是 $(X,u(X))$ 必须满足(3)。这个推导告诉我们该解什么ODE，但还没有证明它的解能还原为一张函数图像。

从曲线恢复函数需要一个逆映射 ​

$C^1$ 系数在小紧邻域内局部Lipschitz，Picard–Lindelöf定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。给出(3)的局部唯一解。ODE初值可微依赖理路ODE变分方程与参数敏感度Variational equation for ODEs · Smooth dependence of ODE solutions · 常微分方程的初值导数在共同存在窗口中证明非线性ODE对初值和参数可微，构造齐次与非齐次变分方程，并给出一阶近似的余项控制与失效边界。又保证 $X,U$ 对 $(\xi ,s)$ 为 $C^1$。

令位置投影

在 $({\xi }_0,0)$，它的导数恰是(2)中的矩阵。反函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。因而给出局部坐标 $(\xi (x),s(x))$。定义

它是 $C^1$，在初始面给出 $g$，沿每条参数曲线又满足 $Du\cdot a=b$。这完成存在性。

若 $v$ 是另一局部经典解，从同一初始位置出发沿 $\dot{X}=a(X,v(X))$ 行走，链式法则使 $(X,v(X))$ 满足同一套(3)。ODE唯一性使它与刚才的曲线及所携函数值一致。位置投影覆盖一个开邻域，故该邻域内 $v=u$，局部唯一性也得到证明。

变速输运还带有源项 ​

解

把 $(t,x)$ 作为两个位置坐标，初始曲线为 $(0,\xi )$；流向 $(1,x)$ 不与它相切。取特征参数就是 $t$，得到

故 $X=e^t\xi$。第二式乘积分因子 $e^t$ 后积分，得到

代入 $\xi =e^{-t}x$，最后的空间函数为

直接计算 $u_t+x{u}_x+u$：平方项系数为 $-3+2+1=0$，一次项合为 $x$，初值也等于 $x^2$。这两项回代验证同时检查了沿流衰减与外部源的作用。

特征初始面可能不相容，也可能不唯一 ​

对 $u_x=0$，在水平直线 $\sigma (\xi )=(\xi ,0)$ 上给初值。流向 $(1,0)$ 正好沿着初始面，(2)失败。

若 $g(\xi )=\xi$，沿该线初值要求 $u_x=1$，与方程矛盾，没有经典解。若 $g$ 恒为常数 $c$，则任意 $u(x,y)=c+\psi (y)$、$\psi \in C^1$ 且 $\psi (0)=0$ 都满足数据，解不唯一。非特征条件的失败不是一律“无解”；它使上述存在唯一性保证失效，实际情况取决于数据。

扩展曲线唯一，位置图像仍会折叠 ​

对 $u_t+u{u}_x=0$、$u(0,x)=-x$，有

在 $t=1$，所有位置都投到 $x=0$，不同标签却仍携带不同的 $U$。扩展空间中的ODE曲线并没有相交；失去可逆性的是从曲线族到位置的投影。经典图像因此不能继续穿过这次坍缩。这里与已有Burgers守恒律理路标量守恒律Scalar conservation law · Scalar hyperbolic conservation law · 一维标量守恒方程以通量散度为零表达标量密度的局部守恒，并用特征速度、激波和稀疏波刻画非线性传播。相接，后续弱解和熵选择属于另一套接口。

一般输运的可复算公式 ​

对 $u_t+v(t,x)\cdot Du+c(t,x)u=f(t,x)$，先解 $X^{\prime }=v(t,X)$。沿轨道定义

则

公式先要求所需轨道确实存在，并能追到初始面；若问题有侧边界，还要判断轨道最先从哪一部分边界进入，不能给所有边界同时任意指定数据。

当方程对梯度非线性时，仅追踪位置和函数值通常不够。Hamilton–Jacobi特征构造理路Hamilton–Jacobi方程Hamilton–Jacobi equation · Hamilton-Jacobi equation由Hamilton相流和作用量构造一阶PDE的经典解，证明梯度恢复恒等式，并用谐振子焦散区分相空间唯一性与位置投影退化。再追踪梯度 $P$，用作用量恒等式证明它确实是还原函数的空间导数；位置投影是否可逆仍是关键检查。