Hopf–Lax公式

抛物面包络与有限搜索范围 ​

固定 $y$ 时，$g(y)+|x-y{|}^2/(2t)$ 是一张以 $y$ 为中心的抛物面。所有这些抛物面的下包络给出 $U$。$t$ 较小时移动昂贵，最优出发点靠近 $x$；较大时允许更远的低初值参与竞争。

(3)给出了比这幅图更精确的结论：计算某个 $x$ 的值，只需搜索半径 $Lt$ 的闭球。但它不保证球内只有一个极小点，也不保证随 $x$ 变化时最优标签连续。

极小点存在，以及为什么不是只有2Lt界 ​

由初值Lipschitz，令 $r=|x-y|$，有

因此可把极小化限制在足够大的闭球内，由极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。取得最小值。仅将极小值与 $y=x$ 比较，会先给 $r\le 2Lt$，还不是(3)。

要取得尖锐界，若极小点距离 $r>0$，朝 $x$ 移动 $h$：$y_h=y_{\ast }+h(x-y_{\ast })/r$，$0<h<r$。极小性和 $g$ 的Lipschitz界给

除以 $h$ 后令 $h\downarrow 0$，得到 $r\le Lt$。当 $r=0$ 时结论直接成立。这一步没有假定 $g$ 在极小点可微。

正绝对值被填成一段抛物线 ​

一维取 $g(y)=|y|$。当 $x>t$，极小点为 $y=x-t$；当 $x<-t$，极小点为 $y=x+t$；当 $|x|\le t$，极小点为零。因此

在接缝 $x=\pm t$，两边函数值、空间导数和时间导数分别吻合，所以 $t>0$ 时它为 $C^1$ 并逐点满足(2)。初始尖点被一段越来越宽的抛物线取代。

负绝对值保留尖点和两个最优标签 ​

若 $g(y)=-|y|$，则

当 $x>0$，极小点为 $y=x+t$；当 $x<0$，为 $y=x-t$。在 $x=0$，$y=t$ 与 $y=-t$ 都是极小点，并且只有这两个。

(6)不可在尖点处经典求导，但上下接触测试已给出正确的黏性选择：上接触斜率 $p\in [-1,1]$ 产生 $-1/2+p^2/2\le 0$，下接触不存在。不能因为有两个极小标签，就把唯一的包络值误认为两个不同PDE解。

灰虚线是各自初值，蓝线是精确最小值；右图零点的两个最优标签给出同一个函数值。

两式都满足 $|U_{\pm }(t,x)-g(x)|\le t/2$，且确有取等点。错误候选 $|x|-t/2$ 虽在 $x\ne 0$ 逐点满足方程，却不等于(5)，并在零点违反超解条件。

半群来自两段二次代价的精确拼接 ​

对 $s,t>0$，固定出发点 $y$ 和终点 $x$，中间点 $z$ 的代价满足

直接配方可核验该等式。再对 $y$ 取下确界，便有

不要求最优标签唯一；每一层都以最小值而非挑选规则定义。

将 $x,y$ 同时平移 $h$，二次代价不变，初值变化至多 $L|h|$；交换两点即证(4)的空间界。另由配方和试探点 $y=x$，对任意L-Lipschitz函数 $f$ 有

用(7)作用在 $S_{s}g$ 上得到时间界。因此 $U(t,\cdot )\to g$ 全空间一致，初值不是只在逐点意义下勉强取得。

上接触：与任意短直线比较 ​

设 $\varphi$ 在 $(t,x)$ 从上接触 $U$，其中 $t>0$。由半群，任意固定向量 $v$ 和小 $h>0$ 满足

接触条件又给 $\varphi (t,x)-\varphi (t-h,x-hv)\le U(t,x)-U(t-h,x-hv)$。合并、除以 $h$ 并取极限：

取 $v=D_x\varphi$，得到 ${\varphi }_t+|D_x\varphi {|}^2/2\le 0$，次解条件成立。

下接触：跟随真正最优的短一步 ​

若 $\varphi$ 从下接触，选半群短一步的极小点 $z_h=x-h{v}_h$。因为 $U(t-h,\cdot )$ 仍为L-Lipschitz，(3)给 $|v_h|\le L$，从而 $z_h\to x$。等式与接触条件给

取一列 $h\downarrow 0$ 使 $v_h\to v$，利用 $C^1$ 测试函数的统一一阶展开，得到

记 $p=D_x\varphi$，移项后

超解条件得证。至此存在性、正则界和初值都已证明，再由比较得到唯一性。

用已知初值误差控制整个包络 ​

若 $\Vert g-\tilde{g}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le e$，则每个候选代价相差至多 $e$，取最小值后仍有 $\Vert S_{t}g-S_t\tilde{g}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le e$。这是公式本身可直接验证的稳定性，也与比较定理一致。

对(5)，空间梯度在 $|x|<t$ 等于 $x/t$、外部为 $\pm 1$；对(6)，左右梯度为 $1,-1$。这些具体函数分别对应已有熵解理路守恒律的熵解Entropy solution of a conservation law · Kružkov entropy solution · 守恒律可容许解在弱守恒之外加入单向熵耗散不等式，从多个分布解中选择满足唯一性与稳定性的可容许解。中的稀疏扇与静止激波。这里的迁移只认证这两个可逐段核验的模型，不把它扩大成未证明的一般对应定理。