自主Hamilton量的黏性比较

对不可微的两个解，不能在它们差值的最大点直接减去梯度方程。比较证明为两者各准备一个光滑接触函数，再让这两个接触点相互靠近。空间无界还带来一个问题：最大值可能一直往远处跑。因此证明既要拉近两点，也要把它们暂时留在有限范围内。

形式陈述

本页保证比较的精确范围

固定 $T>0$ ，令 $H:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 连续，只依赖梯度变量。考虑

u_t+H(D_xu)=0\qquad\text{于 }(0,T)\times\mathbb R^n. \tag{1}

设 $u,v$ 在 $[0,T]\times\mathbb R^n$ 连续，分别为(1)的黏性次解和超解，且都满足全局时空Lipschitz条件。具体说，存在共同有限常数 $K$ ，使 $w=u,v$ 都满足

|w(t,x)-w(s,y)|\le K(|t-s|+|x-y|). \tag{2}

若对每个 $x$ 有 $u(0,x)\le v(0,x)$ ，则

\boxed{u(t,x)\le v(t,x)\quad(0\le t\le T,\ x\in\mathbb R^n).} \tag{3}

因此，同初值的全局时空Lipschitz黏性解至多一个。这里不要求 $u,v$ 自身有界，也不要求 $H$ 在整个梯度空间全局Lipschitz；例如 $H(p)=|p|^2/2$ 和初值 $\pm|x|$ 都没有被这些条件排除。

“全局”针对指定时间窗和整个空间，常数可以依赖 $T$ 。若换成只在有界集上局部Lipschitz，或允许 $H$ 依赖 $t,x,u$ ，下述证明不能原样使用，需要另给增长与连续模条件。

直觉

初值顺序已经控制了同一点的差

由(2)和初值顺序，

u(t,x)-v(t,x)\le u(0,x)-v(0,x)+2Kt\le2KT. \tag{4}

即使两函数都沿空间线性增长，它们同点之差的正部仍有统一界。对不同点，再得到

u(t,x)-v(s,y)\le2KT+K|x-y|+K|t-s|. \tag{5}

这正是空间定位所需的增长控制，比“分别假设两个函数有界”更适合绝对值初值。

双变量制造两份接触测试

罚项 $\alpha|x-y|^2/2$ 让两个空间点接近， $\alpha|t-s|^2/2$ 对时间做同样处理。额外的 $\varepsilon(|x|^2+|y|^2)/2$ 暂时控制绝对位置；最终先固定足够大的 $\alpha$ ，再让 $\varepsilon\downarrow0$ 。

时间端点也需要照顾。测试定义只在开时间区间使用；在终时之前放置趋于无穷的屏障，就能让极值点留在内部，而不用把单侧时间导数擅自当成内部测试。

例子与边界

比较不要求Hamilton量全局Lipschitz

对 $H(p)=p^2/2$ ， $|H(p)-H(q)|=|p-q||p+q|/2$ ，在整条实线上不存在统一Lipschitz常数。但若两个接触斜率都满足 $|p|,|q|\le K$ ，则

|H(p)-H(q)|\le K|p-q|.

下面的证明从解的Lipschitz条件获得接触斜率界，只需要 $H$ 在这一个闭球上一致连续。这个机制也覆盖没有可用全局导数界的其他连续 $H$ 。

初值扰动不会被放大

若 $u,v$ 都是本页解类中的解，且初值一致误差有限，则

\|u(t,\cdot)-v(t,\cdot)\|_\infty \le\|u(0,\cdot)-v(0,\cdot)\|_\infty. \tag{6}

因为方程没有 $u$ 自身，给解加常数仍是解。用初值误差把 $v$ 上下平移，再各比较一次，就得到(6)。这里允许两个函数分别无界，只要求它们初始差的上确界有限。

例如 $u=-|x|-t/2$ 是二次Hamilton量的解， $u+c$ 也是解。两者始终相差 $|c|$ ，说明(6)中的常数一无法普遍缩小。

推论与应用

第一步：构造一个真正位于内部的正最大值

反设某处 $u(t_0,x_0)>v(t_0,x_0)$ 。若违反点在 $T$ ，连续性先给出一个早于 $T$ 的违反点。选

0<t_0<\bar T<T.

依次取足够小的 $\eta,\beta>0$ ，使

u(t_0,x_0)-v(t_0,x_0)-\eta t_0-\frac{2\beta}{\bar T-t_0}>2\delta

对某个 $\delta>0$ 成立。对足够小的 $\varepsilon>0$ ，定义

\begin{aligned} \Psi(t,x,s,y)={}&u(t,x)-v(s,y) -\frac\alpha2\bigl(|x-y|^2+|t-s|^2\bigr)\\ &-\frac\varepsilon2(|x|^2+|y|^2)-\eta t -\frac\beta{\bar T-t}-\frac\beta{\bar T-s}, \end{aligned} \tag{7}

其中 $0\le t,s<\bar T$ 。在 $(t_0,x_0,t_0,x_0)$ ，值大于 $\delta$ 。由(5)，二次空间罚项压过可能的线性增长，两个屏障在 $t$ 或 $s$ 趋向 $\bar T$ 时趋于负无穷。因此可把正最大值的搜索限制在一个紧集内，再用极值定理得到最大点。

若最大点满足 $t=0$ 或 $s=0$ ，初值顺序和(2)给

u(t,x)-v(s,y)\le K|x-y|+K|t-s|.

配方可知(7)的值至多为 $K^2/\alpha$ 。固定 $\alpha>K^2/\delta$ ，便排除了两种初时边界。于是两个接触点都严格在 $(0,\bar T)\times\mathbb R^n$ 内。

第二步：写出两份测试的全部导数

在(7)的最大点，固定 $(s,y)$ 得到 $u$ 的上接触测试，固定 $(t,x)$ 得到 $v$ 的下接触测试。它们的时间、空间导数分别为

\begin{aligned} a&=\alpha(t-s)+\eta+\frac\beta{(\bar T-t)^2}, & p&=\alpha(x-y)+\varepsilon x,\\ b&=\alpha(t-s)-\frac\beta{(\bar T-s)^2}, & q&=\alpha(x-y)-\varepsilon y. \end{aligned} \tag{8}

黏性条件给 $a+H(p)\le0$ 、 $b+H(q)\ge0$ 。相减后

\boxed{\eta\le a-b\le H(q)-H(p).} \tag{9}

上下屏障的导数符号相反，它们在 $a-b$ 中都贡献正数。

第三步：两梯度落在同一紧球，且彼此靠近

$K$ -Lipschitz函数的任意可微上接触或下接触测试，其空间梯度范数都至多 $K$ 。例如上接触给

-K|h|\le u(t,x+h)-u(t,x)\le\phi(t,x+h)-\phi(t,x).

令 $h$ 沿任意单位方向从正侧趋零，再换相反方向，即得梯度的两个界。因此(8)中的 $|p|,|q|\le K$ 。

另一方面，由 $\Psi>\delta$ 、(5)和配方，得到一个不依赖 $\varepsilon$ 的常数 $C$ ，使

\frac\varepsilon2(|x|^2+|y|^2)\le 2KT+\frac{K^2}{\alpha}\le C.

于是

|p-q|=\varepsilon|x+y|\le2\sqrt{C\varepsilon}\longrightarrow0.

连续 $H$ 在闭球 $|p|\le K$ 上一致连续，故(9)右端趋零，与固定的 $\eta>0$ 矛盾。比较在 $t<T$ 得证， $t=T$ 再由连续性取得。

残差也能变成误差证书

设 $u$ 是精确解， $w$ 为同类Lipschitz近似，初始误差至多 $e_0$ ，且黏性意义下满足残差界

-\rho\le w_t+H(Dw)\le\rho.

右侧不等式表示上接触测试的残差不超过 $\rho$ ，左侧表示下接触测试的残差不少于 $-\rho$ 。于是 $w-\rho t-e_0$ 是次解， $w+\rho t+e_0$ 是超解；两者在初时夹住 $u$ 。比较给出

\boxed{|u(t,x)-w(t,x)|\le e_0+\rho t.}

这把一个已验证的统一残差变成整空间误差界。抽样点上的小残差还不满足假设；需要对全部接触测试，或对光滑近似的所有时空点，取得该界。

参考资料

Alberto Bressan，Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations and Optimal Control Problems，§5，Theorem5.2及式(5.26)–(5.33)，印刷pp.18–21：双变量比较的机制。其原定理使用有界一致连续函数及对Hamilton量的其他条件；本页不直接套用，而完整证明自主连续H、全局时空Lipschitz解的版本。

形式陈述 ​

本页保证比较的精确范围 ​

初值顺序已经控制了同一点的差 ​

双变量制造两份接触测试 ​

比较不要求Hamilton量全局Lipschitz ​

初值扰动不会被放大 ​

第一步：构造一个真正位于内部的正最大值 ​

第二步：写出两份测试的全部导数 ​

第三步：两梯度落在同一紧球，且彼此靠近 ​

残差也能变成误差证书 ​

反向链接