B样条导数与形状证书

将每个基的导数

代入总和。$B_{i,p-1}$ 从第 $i$ 项收到 $p{c}_i/(t_{i+p}-t_i)$，从第 $i-1$ 项收到相反的 $p{c}_{i-1}/(t_{i+p}-t_i)$，相减就得到 $d_i$。夹持向量最外两项的低阶基是零，所以留下 $i=1,\dots ,N-1$。

这像有限差分，但分母是横跨 $p$ 个节点的距离，不总是相邻跨度。第二次求导时次数与节点向量都已经变化，必须重新应用同一规则，不能直接把原系数做普通二阶差分再除以一个统一 $h^2$。

对 $p=2$、$t=(0,0,0,1,1,2,3,3,3)$、$c=(0,1,2,0,1,3)$，导数系数为

新节点向量为 $(0,0,1,1,2,3,3)$。令 $y=x-1$、$z=x-2$，原曲线逐段为

因此 $s^{\prime }(1^{-})=2$、$s^{\prime }(1^{+})=-4$，值却同为二，正是二重节点的 $C^0$ 接合。在简单节点二，左右值都为 $1/2$、左右导数都为一；二阶导数分别为五和三，所以这一条曲线恰好 $C^1$ 而非 $C^2$。

满重数的例子更能检验接口：$p=1,t=(0,0,1,1,2,2),c=(0,1,4,5)$ 的每段导数都为一。中间零分母项被省去，得到的是分段斜率，绝不能据此声称原曲线跨越一时没有跳变。值从一跳到四，需要另外记录。

若 $s$ 在整个区间连续，且所有非零支撑的 $d_i\ge 0$，非负基保证每段 $s^{\prime }\ge 0$，各段连起来便全局非降。若允许跳变，还须每个跳变量非负。斜率全为正、跳变向下的分段直线，就是省略最后条件的反例。

对至少 $C^1$ 的曲线，继续得到二阶导数系数；若它们全非负，则 $s^{″}\ge 0$，从而曲线凸。更一般的连续分段曲线还需检查一阶导数的跳跃方向。系数符号是方便的充分证书，不是一般必要条件：单段三次 Bernstein 系数 $(0,1,4/5,9/5)$ 有一个负差，而其导数 Bernstein 系数为 $(3,-3/5,3)$，导数实际是 $3-36x/5+36x^2/5\ge 6/5>0$。

导数控制也可用于全区间误差上界理路一致误差的全区间证书Uniform error certification · Continuous supremum error bounds把临界点、连续模或非负基包围变成全区间误差上界，并说明有限采样本身不能证明上确界。：若残差的导数绝对值有已证上界，有限网格的最大误差才能加上可计算的漏采样余量。

从导数符号到直线穿越次数 ​

本页的非负导数系数给出单调或凸的充分条件。B样条全非负配点与变号缩减理路B样条全非负配点与变号缩减B-spline total positivity · Spline variation diminution · 样条变差缩减通过插结矩阵的有序局部支撑证明配点矩阵的所有子式非负，再将系数变号次数转成曲线穿线次数的证书。进一步回答“曲线相对任意指定直线最多强变号多少次”：用Greville位置减去该直线的系数，再以插结的有序凸混合证明变号不增。连续曲线可作穿线解释；满重数跳点可能越过一条直线而不与它相交，不能把强变号一律数作零点。