节点插入与不变曲线

新节点把允许的样条空间放大，原曲线仍然在其中。插结只回答“原曲线在细一点的局部基下如何存储”。离新节点很远的基没有变化，附近的系数才需要混合。

把 ${\alpha }_i$ 补成 $i\le k-p$ 时为一、$i\ge k-r+1$ 时为零，单节点的基细化恒等式为

下面用差商证明细化恒等式。对固定且不等于任何节点的 $x$，令 $g_q(z)=(z-x{)}_{+}^q$，$g_0(z)={\mathbf{1}}_{(x,\mathrm{\infty })}(z)$。有

先对互异节点验证。$p=0$ 时右侧为 $g_0(t_{i+1})-g_0(t_i)$，正是区间指标。对更高次数，用 $g_p=(z-x)g_{p-1}$；差商乘积法则给

其中 $a=t_i,a_1=t_{i+1},a_p=t_{i+p},b=t_{i+p+1}$。除以低阶基的各自支撑长度，就得到 Cox–de Boor 递推，归纳成立。这里的乘积法则也可直接从差商递推理路差商与 Newton 插值形式Divided differences · Newton interpolation用递归差商构造可增量扩展的 Newton 插值表示，并以嵌套乘法在线性时间求值。推得：乘以一次式只留下该式的零阶和一阶差商。

设 $a<u<b$，记 $D=[a,a_1,\dots ,a_p,b]g_p$、$D_L=[a,a_1,\dots ,a_p,u]g_p$、$D_R=[u,a_1,\dots ,a_p,b]g_p$。差商的对称性与递推给

其中 $D_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}$ 使用加入 $u$ 的全部节点。消去它得

把各节点排序后，左新基的支撑长度为 $max(a_p,u)-a$，右新基为 $b-min(a_1,u)$。因此两个系数分别为

即 ${\alpha }_i$ 与 $1-{\alpha }_{i+1}$，分母一般不同。$u$ 在支撑之外时对应不变或移位的基。重复节点由节点合并极限得到：查询点远离节点，$g_p$ 在每个节点附近光滑，合流差商使用相应导数除以阶乘；零支撑基省略。再由单侧极限恢复所有节点值及右端值。

最后把恒等式乘 $c_i$ 求和。固定一个新基 $B_{i,p}(t^{\prime })$，它从旧第 $i$ 项收到 ${\alpha }_i{c}_i$，从旧第 $i-1$ 项收到 $(1-{\alpha }_i)c_{i-1}$。这里才出现同一 ${\alpha }_i$，得到系数更新及整条曲线的不变性。

计算只有至多 $p-r$ 次混合；构造整个新数组还需 $O(N)$ 次复制。把“算几个新系数”的代价与“输出完整新数组”的代价分开，才不会遗漏数据移动。

对

插入 $u=3/2$。这里 $k=4,r=0$，只混合 $i=3,4$：${\alpha }_3=1/2$、${\alpha }_4=1/4$。结果是

新表示在 $u$ 的两个活跃基值为 $1/2,1/2$，读出 $1/2+1/8=5/8$，等于旧表示。更强的验证是分段恒等：旧曲线在 $1\le x\le 2$ 上为 $2-4(x-1)+5(x-1{)}^2/2$；新表示在 $[1,3/2]$ 和 $[3/2,2]$ 各展开一次，均得到这一多项式。两侧其他跨度完全不变，所以相同并非只由几个样本推断。

再在原来的二重节点 $1$ 插入一次，有 $r=p=2$，中间范围为空，结果仅把系数二重复：$c^{\prime }=(0,1,2,2,0,1,3)$。新空间允许跳变，这条旧曲线却仍连续，因为断点左右端系数一致。若随后把右侧的二改为三，才会真正引入跳变。

已经满重数的点不能再按本接口插入；端点也不接受额外插入。它们不是数学上绝无其他表示，而是当前夹持、无冗余约定下的输入边界。节点删除则要检查相邻多项式是否满足更强拼接条件，不能简单删掉一个系数。

将每个内部节点补到重数 $p$，连续分段曲线可逐段读作 Bernstein 表示；若本来有满重数跳点，则该点两侧分别提取。因每段 Bernstein 基非负且和为一，局部系数的最小值、最大值给整段值域包围。进一步细分有时能把这个界收紧，连接到误差证书理路一致误差的全区间证书Uniform error certification · Continuous supremum error bounds把临界点、连续模或非负基包围变成全区间误差上界，并说明有限采样本身不能证明上确界。。

在同一查询点反复插入，局部混合表与de Boor 求值理路de Boor 样条求值de Boor algorithm · de Boor spline evaluation定位一个非零节点跨度，以局部凸组合计算样条值，并完整处理重节点、右端点与失败输入。相连。求值最后只要一个数，插结保留完整细化表示；二者共享运算机制，但输出接口不同。