前向—后向算子分裂

余单调比单调Lipschitz多付了什么 ​

由Cauchy–Schwarz不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。，式(1)推出 $\Vert Bx-By\Vert \le \Vert x-y\Vert /\beta$。它不仅限制输出差的长度，还要求这份输出差沿位移方向支付足够正内积。

对普通旋转 $J(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)$，内积 $⟨Jh,h⟩=0$，长度却为 $\Vert h\Vert$，所以没有任何正 $\beta$使式(1)成立。另一方面，全空间上的$L$-光滑凸函数理路光滑凸函数Smooth convex function · L-smooth convex function同时具有凸性与全局 Lipschitz 梯度的函数类，其曲率被零与有限上界夹住。梯度具有 $\beta =1/L$的余单调性，因而允许作为这里的显式部分。

从预解稳定性得到一条完整预算 ​

固定任意零点 $z$，一轮记 $p=J_{\gamma A}(x-\gamma Bx)$、$d=x-p$、$b=Bx-Bz$。预解牢固非扩张性给

将 $p-z=x-z-d$代入，并使用式(1)，得到

这项配方解释了步长上界：严格小于 $2\beta$时，距离减少必须支付一份正的位移平方。舍去最后一项并求和，轨道有界，且 $x_{k+1}-x_k\to 0$。

映射 $T=J_{\gamma A}(I-\gamma B)$连续，因为预解非扩张、$B$为Lipschitz。有限维Bolzano–Weierstrass定理理路Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。给出聚点 $\overline{x}$；位移趋零使 $T\overline{x}=\overline{x}$。式(3)对该零点仍成立，因此到 $\overline{x}$的距离非增且沿子列趋零，整列便趋于 $\overline{x}$。这个证明只调用有限维紧致性，不声称任意Hilbert空间中有范数收敛。

没有凸势的显式部分仍然可用 ​

取 $A=0$，$B=I+J$，即 $B(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)$。对任意差 $h$，

所以最大可用余单调系数是 $\beta =1/2$。$B$的矩阵不对称，不能是可微标量势的梯度；这个例子已超出凸目标近端梯度的定义。

取 $\gamma =1/2,x_0=(1,0)$，因 $J_{\gamma A}=I$，有

每轮平方长度乘 $1/2$。阻尼部分 $I$支付旋转部分 $J$产生的长度，恰好使显式步稳定；若删掉阻尼只留 $J$，同样步长的长度反而每轮乘 $\sqrt{5/4}$。

端点不能照抄，缩小步长也不能只看位移 ​

令 $A=0,B=I$，则 $\beta =1$。在端点 $\gamma =2$，更新为 $x_{k+1}=-x_k$，非零初值不收敛；超过端点则发散。此反例说明一般定理需要严格不等式，不是每个具体问题在端点都会失败。

若 $B=0$而$A(x)=\{1\}$，则任意正 $\beta$都满足式(1)，预解也处处存在，但零点集为空，迭代 $x_{k+1}=x_k-\gamma$持续平移。若擅自将固定步长换成可求和的小步长，又可能因为总推进有限而停在非解处，已有近端梯度页理路近端梯度法Proximal gradient method对复合目标的光滑项取显式梯度步、对非光滑凸项取隐式近端步的算法。给出了这样的明确反例。

公式中的预解也不保证廉价。若计算 $J_{\gamma A}$需要内层迭代，存在唯一性不等于已经完成一次精确调用；近似误差须另外控制。

残差应在正确位置认证 ​

预解最优性给

于是

这一项是在新点 $p$上的实际包含残差；仅报旧点位移并省掉步长，会把缩小步长误当作更接近平衡。由式(3)，前 $N$轮中最小的位移平方满足

给定一个已知的初始距离上界，就能把它与式(4)合成至少一个预测点的残差证书；它不是无需距离信息的目标函数误差界。

当 $A=\partial h,B=\mathrm{\nabla }g$，其中 $h$proper闭凸、$g$全域光滑凸时，$J_{\gamma A}$是近端算子理路近端算子Proximal operator · Proximity operator在降低凸函数值与保持靠近输入点之间取得精确平衡的单值算子。，式(2)严格化为近端梯度法理路近端梯度法Proximal gradient method对复合目标的光滑项取显式梯度步、对非光滑凸项取隐式近端步的算法。。此时才能另用目标结构证明函数值结论。更一般的 $A$可能是法锥或非次微分关系，$B$也可像阻尼旋转那样没有势。

每轮需要一次 $B$、一次 $J_{\gamma A}$及 $O(d)$向量运算和存储。若还要计算式(4)，需新点处的 $Bp$，它可与下一轮共享。若只能提供单调Lipschitz条件而没有余单调性，可考虑Tseng校正理路Tseng 前向—后向—前向分裂Forward-backward-forward splitting · Tseng splitting · Modified forward-backward splitting以一次预解和两次单调Lipschitz场求值修正前后分裂，证明Fejér下降与残差平方率，并说明校正点可能离开约束而预测点仍可行。：它用第二次场求值换取更弱的结构条件，更新式和残差位置也随之改变。