浮点算术标准误差模型

标准模型像一套记账法：每次正规运算都在精确结果旁贴上一个不超过 $u$ 的局部相对扰动标签，随后用 ${\theta }_k$ 和 ${\gamma }_k$ 把一串标签合并。它让算法页能集中分析数据流和误差传播，而不必反复展开每个位的舍入过程；遇到下溢边界时，再把绝对项 $\eta$ 纳入账本。

这套黑箱只有在边界条件清楚时才可靠。溢出会直接离开有限相对误差结论，表达式重排与编译器 contraction 则改变“发生了几次、在哪里舍入”；分析必须跟随实际运算路径，而不能把不同 IEEE 754 行为塞进同一个 $\delta$。

正规输出本身不足以保证纯相对模型。在 binary64 中，令最小正规数 $m=2^{-1022}$、$u=2^{-53}$。两个操作数 $m$ 与 $1-u$ 都能精确表示，但精确乘积

恰好位于最大次正规数与 $m$ 的中点。ties-to-even 把它舍入为正规数 $m$，相对于精确值的误差却为

此处应使用带绝对项的混合模型；选 $\delta =0$、$\eta =2^{-1075}=\alpha /2$ 就能精确解释该结果。边界检查针对精确结果的大小，而不是只看运算结束后的指数位。

当 $n\ge 1$ 时，朴素点积经历 $n$ 次乘法与 $n-1$ 次加法；$n=0$ 的空点积直接返回 $0$，不做算术运算。界中却出现 ${\gamma }_n$：展开递推后，每个原始乘积只乘上自身的乘法舍入因子，以及进入部分和之后经历的加法因子，最长传播路径至多含 $n$ 个因子。总操作数与一项误差经过的路径长度不是同一种计数。局部误差即使都很小，若正负项几乎抵消，精确点积 $x^{T}y$ 可能远小于 $|x{|}^T|y|$，于是绝对误差受控却没有小的相对误差。界中的 $|x{|}^T|y|$ 已经明确暴露了这项问题尺度，模型仍在其适用域内正常工作。

融合乘加 FMA 对 $ab+c$ 只在最终结果舍入一次，可写成

若分开执行乘法和加法，则乘积先舍入，随后求和再舍入，两条误差路径不同。取 binary64 中可精确表示的

精确值 $ab+c=-2^{-54}$。分开计算时，精确乘积 $1-2^{-54}$ 位于相邻浮点数的中点，ties-to-even 把它舍入为 $1$，随后加 $-1$ 得 $0$；FMA 只在最终舍入，返回可表示的 $-2^{-54}$。编译器是否允许 contraction 因而会改变位级结果和证明所对应的运算图。

当 $ku\ge 1$ 时，${\gamma }_k$ 的分母不再为正，不能继续引用这条简洁界。实际算法未必立刻失效，但需要更合适的分析、提高精度或重组计算。把 ${\theta }_k$ 当作独立同分布噪声再用方差相消，同样超出了确定性模型能保证的范围。

浮点求和公理库浮点求和：顺序、成对与补偿Floating-point summation · Compensated summation比较顺序、成对和补偿求和的误差传播，并区分准确性、可复现性与并行代价。用该模型比较顺序、成对和补偿算法；后续 LU、QR 与迭代精化则用它解释局部运算怎样转化为后向误差。共同模型使不同算法的稳定性陈述可以比较，但每页仍需写明运算路径、范数和不排除的异常情形。

模型也为数值稳定性公理库数值稳定性Numerical stability以允许的小输入扰动刻画算法的有限精度行为，并与问题条件性及其他稳定性概念分开。提供执行层接口：若全部局部舍入能等价为原始输入上的小扰动，算法可获得后向稳定结论；若误差在中间量上被巨大放大，仅知道每步 $|\delta |\le u$ 仍不足以保证最终答案可信。对次正规数、异常值或改变舍入次数的实现，必须先换模型，再谈稳定性标签。