残差、误差估计与停止准则

形式陈述 ​

残差与前向误差 ​

在数值问题公理库数值问题与数值算法Numerical problem and algorithm区分数学问题、有限数据、求解算法与实际执行，并据此追踪误差和计算成本。 $F(x)=0$ 中，近似解 $\hat{x}$ 的残差是

$$r=F(\hat{x});$$

对线性系统 $Ax=b$ 常取 $r=b-A\hat{x}$，与 $F(\hat{x})=A\hat{x}-b$ 只差符号。残差衡量把近似解代回方程后的缺陷，前向误差公理库前向误差与后向误差Forward and backward error分别衡量计算答案离真解多远，以及它能否视为邻近输入问题的精确解。则是 $\hat{x}-x_{\ast }$；它们使用不同的误差度量公理库误差度量：绝对、相对与分量误差Error measures · Absolute and relative error用绝对、相对、范数型与逐分量尺度准确说明近似量偏离真值的程度。，也位于不同空间，只有在逆映射受控时才能互相转换。若 $F$ 在解附近连续可微，且 $DF(x_{\ast })$ 可逆，一阶上有

$$\hat{x}-x_{\ast }\approx DF(x_{\ast }{)}^{-1}F(\hat{x}),$$

因此误差界需要逆 Jacobian 范数、条件数公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。、强单调性、收缩因子或其他问题结构；当 $\hat{x}$ 尚未进入局部线性区时，这条近似不能当作全局证书。

线性系统把这座桥写成精确恒等式。若 $e=\hat{x}-x_{\ast }$ 且 $r=b-A\hat{x}$，则

$$Ae=-r.$$

对非奇异 $A$，$\Vert e\Vert$ 因而受 $\Vert A^{-1}\Vert \Vert r\Vert$ 控制。若再有 $b\ne 0$（从而 $x_{\ast }\ne 0$），在向量范数及其诱导矩阵范数下有常用相对界

$$\frac{\Vert e\Vert }{\Vert x_{\ast }\Vert }\le \kappa (A)\frac{\Vert r\Vert }{\Vert b\Vert }.$$

右端只是最坏界，具体残差方向可能远离最敏感奇异向量。没有逆算子信息时，残差本身不是前向误差证书。

残差也不等于后向误差，直到选定允许扰动和尺度。保持 $A$ 不动且 $b\ne 0$ 时，$\Vert r\Vert /\Vert b\Vert$ 是右端相对后向误差；允许 $A,b$ 同时作 normwise 相对扰动时，分母非零情况下的常用尺度化量为

$$\eta (\hat{x})=\frac{\Vert r\Vert }{\Vert A\Vert \Vert \hat{x}\Vert +\Vert b\Vert }.$$

二者由同一残差构造，却回答不同的邻近问题。

机器计算的残差自身也会舍入。按标准浮点模型公理库浮点算术标准误差模型Standard floating-point arithmetic model以每次基本运算的小相对扰动和 gamma 记号组织多步浮点误差分析。逐项累加每个点积，且没有溢出或下溢、$(n+1)u<1$ 时，典型分量界为

$$|\hat{r}-r|\le {\gamma }_{n+1}(|b|+|A||\hat{x}|).$$

当真残差已低于这个噪声底，工作精度中的 $\hat{r}$ 可能停滞甚至误报零；迭代精化因此常用更高精度重新计算残差。

误差估计器与局部指标 ​

先验误差界在运行前由数据、离散尺度或迭代次数推出；后验误差估计器 $\eta (\hat{x})$ 则使用已经算出的残差、相邻迭代或局部缺陷来估计未知误差。若它满足

$$\Vert e\Vert \le C_{\mathrm{rel}}\eta ,$$

称估计器具有可靠性：估计量在常数意义下给出误差上界。若反向还有

$$\eta \le C_{\mathrm{eff}}(\Vert e\Vert +\mathrm{osc}),$$

称其具有效率；$\mathrm{osc}$ 表示数据振荡或估计器无法从离散数据中分离的项。可靠性防止漏报大误差，效率防止估计量长期远大于真实误差，两者方向不能互换。

局部 indicator ${\eta }_K$ 只负责标出哪个单元、时间步或分量值得继续计算，常以 ${\eta }^2=\sum _K{\eta }_K^2$ 汇成全局估计器。indicator 排序对自适应加密有用，却不因“局部值大”自动成为严格误差界；可靠性和效率仍需针对具体方程、范数与网格条件证明。

还要区分代数残差与离散残差。把离散线性系统精确解到 $b-A\hat{x}=0$，只消除了代数求解误差；离散函数代回原连续方程仍可能留下函数型残差，并对应尚未消失的离散化误差。严格可验证界还应覆盖估计器自身的舍入和模型误差。渐近估计只在步长或误差足够小时有效，概率界则要声明随机假设和置信水平，这些标签不能互换。

有限元中的两种残差怎样分工 ​

在一维零端点 Poisson 问题中，有限元残差估计公理库有限元残差后验估计Finite element residual estimator · Finite element a posteriori residual estimator从单元残差与斜率跳跃构造可计算指标，在一维模型中给出显式常数，再以二维准插值和泡函数证明可靠性与含振荡的局部效率。把连续残差写成单元荷载项与节点斜率跳跃项。它给出显式上界 $E\le \eta /\pi$，并用单元内的高频正弦荷载说明：可靠性成立时，估计量仍可能远大于真误差，效率界中的数据振荡不能无故删去。

若有限元刚度系统为 $AU=b$，近似系数为 $\hat{U}$，则代数残差 $r=b-A\hat{U}$ 对应的能量误差平方恰好为 $r^{\mathsf{T}}{A}^{-1}r$。Galerkin 正交将总能量误差平方分成离散误差平方与代数误差平方。自适应有限元算例公理库自适应有限元的估计、标记与加密Adaptive finite element method · AFEM先复算一维局部加密，再在固定二维Poisson模型中证明估计量缩减、能量正交及加权收缩，并解释误差不变的边界加密例子。具体算得：准确求解四单元系统后，矩阵残差已经为零，PDE 能量误差平方却仍为 $1/48$。继续迭代同一系统无法消除这部分误差，应该改变离散空间。

停止准则 ​

实际停止准则通常组合绝对与相对尺度，例如

$$\Vert r_k\Vert \le \mathrm{atol}+\mathrm{rtol}s,$$

其中 $s$ 应由 $b$、$F$ 或问题的自然尺度定义。线性求解若目标是小后向误差，直接检查上面的 $\eta (\hat{x})$ 通常比只除以 $\Vert b\Vert$ 更贴近规格。预条件残差适合驱动算法，却不一定等于原系统残差；交付前应在原方程上复核。还要检查更新量、最大迭代数、非有限值和舍入平台期；固定的裸阈值既可能让大尺度问题过早停止，也可能让接近零的问题永不满足。

直觉

残差像把答案重新放回题目后看到的“接缝”。接缝小只说明方程几乎闭合；若题目本身像一只长而扁的漏斗，沿敏感方向移动很远也可能只产生很小的接缝。要从接缝推断位置误差，必须知道漏斗的几何形状。

相邻迭代差也是一种可观察信号，却可能因为迭代映射接近恒等、步长控制过小或浮点停滞而变小。停止判据需要和问题尺度、理论收敛机制以及失败检测一起设计。

例子与边界

取

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {10}^{-12}\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ {10}^{-12}\end{array}\right).$$

精确解为 $x_{\ast }=(1,1{)}^{\mathsf{T}}$。若算法返回 $\hat{x}=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$，则

$$r=b-A\hat{x}=(0,{10}^{-12}{)}^{\mathsf{T}}.$$

以 $2$-范数计，

$$\frac{\Vert r{\Vert }_2}{\Vert b{\Vert }_2}\approx {10}^{-12},\frac{\Vert \hat{x}-x_{\ast }{\Vert }_2}{\Vert x_{\ast }{\Vert }_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707,$$

而 ${\kappa }_2(A)={10}^{12}$。这是可复算的完整反例：极小相对残差与很大相对前向误差可以同时成立，条件数恰好解释两者之间的尺度差。对同一 $\hat{x}$，右端后向误差约为 ${10}^{-12}$；它很小，却没有承诺病态逆映射后的解分量仍准确。

对收缩迭代 $x_{k+1}=g(x_k)$，若已知全局收缩因子 $q<1$，才有后验界

$$\Vert x_k-x_{\ast }\Vert \le \frac{q}{1-q}\Vert x_k-x_{k-1}\Vert .$$

这个系数来自尾部距离的几何级数：$\Vert x_{k+j+1}-x_{k+j}\Vert \le q^{j+1}\Vert x_k-x_{k-1}\Vert$，对 $j\ge 0$ 求和便得到 $q/(1-q)$。没有已知且适用于后续轨道的 $q$，单看相邻差小不能构成同样证书；在 $q\approx 1$ 时，前面的放大因子还会非常大。

推论与应用

线性迭代、Newton 法、ODE 自适应步长和有限元后验估计都会使用残差，但每种方法把残差变成误差的机制不同。迭代精化公理库迭代精化Iterative refinement · Mixed-precision iterative refinement复用已有矩阵因子求解残差校正方程，以精确误差递推区分因子质量、收缩速度和混合精度噪声平台。把残差计算、因子求解与更新误差分别写进精确递推，并在统一扰动界下证明误差平台上界 $\beta /(1-\alpha )$；持续更新偏差的例子还说明，即使残差计算精确，增加轮数也未必消除全部误差。算法页应引用本页的区分，再给出自身所需的逆算子界、局部误差模型或可靠性常数。

柯西序列公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。解释尾项之间的数学接近，不能单独替代数值停机证书。一个可审计的实现至少应记录采用的残差定义、缩放、容差、迭代上限和异常退出原因，让“停止”与“已达到目标误差”不被混为同一事件。

参考资料

• Nicholas J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd ed., SIAM, 2002, Chs. 1 and 7.
• LAPACK Users’ Guide, 3rd ed., SIAM, 1999, Further Details: Error Bounds for Linear Equations.
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires, and Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th ed., Cengage, 2016, iterative methods and a posteriori error estimates.