Fine–Gray 子分布风险模型

形式陈述

设首次事件时间 $T>0$ ，类型为 $J$ ，并假定以下累计发生函数绝对连续、在零处没有概率原子。在生存与竞争风险框架下，目标类型的累计发生函数是 $F_1(t)=P(T\le t,J=1)$ 。在它可微且 $F_1(t)<1$ 的时刻，亚分布风险定义为

\alpha_1(t)=\frac{F_1'(t)}{1-F_1(t)}.

分母包含尚未发生任何事件的人，也包含已经发生其他类型事件的人。由微分关系可得

F_1(t)=1-\exp\left[-\int_0^t\alpha_1(u)\,du\right].

Fine–Gray 比例亚分布风险模型规定

\alpha_1(t\mid z)=\alpha_{10}(t)e^{\gamma^{\mathsf T}z}.

其形式类似Cox 模型，但目标量和风险集不同。固定协变量下，它隐含 $1-F_1(t\mid z)=\{1-F_{10}(t)\}^{e^{\gamma^{\mathsf T}z}}$ ，所以系数直接约束累计发生率的整条曲线。

为什么要保留竞争事件者

在没有删失的概念性样本中，只有类型 $1$ 事件使 $1-F_1$ 下降。一个人发生类型 $2$ 后，终身都不会进入“已发生类型 $1$ ”集合，因此仍计入该分母。保留他不是说他还能发生第一次类型 $1$ 事件，而是在维持亚分布的概率记账。

右删失存在时，不能机械地把所有竞争事件者永远赋权一。标准估计需利用删失分布作逆概率加权，在相应独立删失条件下重建这个特殊风险集；若删失依赖协变量，还要适当分层或建模删失机制。软件的拟合对象、权重和删失组应一起检查。

直觉

研究类型 $1$ 事件的累计发生概率时，已经发生类型 $2$ 的人为什么还会出现在一种“风险集”中？Fine–Gray 模型采用的是为累计发生率定义的数学分母，它需要与真正仍能发生事件的人群区分。

例子与边界

常数原因风险的反例

设真实原因别风险为 $\lambda_1=0.1$ 、 $\lambda_2=0.2$ ，单位为每年。尚无事件的生存率是 $e^{-0.3t}$ ，于是

F_1(t)=\frac13(1-e^{-0.3t}),\qquad \alpha_1(t)=\frac{0.1e^{-0.3t}}{1-\frac13(1-e^{-0.3t})}.

虽然原因别风险 $\lambda_1$ 始终为 $0.1$ ，亚分布风险却从 $0.1$ 逐渐下降到零。到 $t=5$ ， $F_1(5)\approx0.259$ ， $\alpha_1(5)\approx0.0301$ 。下降的原因是分母逐步积累了永远不再发生目标事件的竞争事件者。

若另一组只把 $\lambda_2$ 从 $0.2$ 提高到 $0.4$ ，而 $\lambda_1$ 保持不变，则 $F_1(5)=0.2(1-e^{-2.5})\approx0.184$ 。目标累计发生率降低了，但目标原因别风险没有改变。这说明亚分布效应可能通过竞争事件通路产生，不能自动解释为对目标事件自身机制的作用。

使用步骤与边界

先定义互斥的首次事件类型和关注的时间范围，再决定问题是“仍无事件者中的瞬时发生率”还是“原始人群到某时点的累计发生概率”。前者用原因别风险，后者可用亚分布回归或先估计所有原因风险再合成累计发生率。

随后检查比例亚分布风险假设、删失建模和绝对风险预测。一个亚分布风险比既不是累计发生概率比，也不是风险差；报告时最好同时给出具体时间点的累计发生率。对内部时间变化协变量，竞争事件后该变量可能失去定义，直接延长其轨迹尤其需要谨慎。

推论与应用

Aalen–Johansen 估计提供不加协变量模型的累计发生曲线，可帮助理解回归目标。原因别与亚分布模型可以同时报告，只要明确两者分别在回答什么问题。

参考资料

Fine and Gray, A Proportional Hazards Model for the Subdistribution of a Competing Risk, JASA 94, 1999, pp. 496–509，亚分布风险回归与删失加权。
Therneau, Crowson and Atkinson, Multi-state models and competing risks, Fine–Gray sections，竞争风险资料的实现与解释。

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