核密度估计的边界修正

形式陈述

普通核密度估计在边界会把质量放到支持以外。本页以已知支持 $[0,\infty)$ 为起点。设 $X_1,\ldots,X_n$ 为非负IID观测。讨论密度估计目标时，假定其共同分布关于Lebesgue测度具有密度 $f$ ，并在所讨论的边界有右侧连续版本；算法的归一化本身则不要求真实密度存在。取核 $K\ge0$ 、 $K(u)=K(-u)$ 、 $\int_{\mathbb R}K=1$ ，带宽 $h>0$ 。反射估计定义为

\widehat f_h^{\rm R}(x)=\frac1{nh}\sum_{i=1}^n \left[K\!\left(\frac{x-X_i}{h}\right)+K\!\left(\frac{x+X_i}{h}\right)\right],\quad x\ge0,\tag{1}

$x<0$ 时置零。每个原始点 $X_i$ 在零的另一侧放一个镜像 $-X_i$ ，但分母仍是 $nh$ ，不是 $2nh$ 。

估计非负，而且对每份样本都有

\int_0^\infty\widehat f_h^{\rm R}(x)\,dx=1.\tag{2}

因此它确实是一份定义在半直线上的概率密度。边界目标取一个右侧连续版本的极限 $f(0+)$ ；任意改写密度在单点0的数值不会改变分布，本页不把无法由分布识别的任意单点赋值当成估计目标。

式(1)要求支持下界已知。如果样本中出现负数，应先检查支持假设或数据含义，不能静默取绝对值。若真实支持还存在有限上界，则必须处理另一端，见下文。

直觉

靠近零的一个核有一部分伸到负半轴。反射不是简单把这部分剪掉，而是把镜像核伸回来的相应部分加在正半轴上。每个原始观测贡献的总质量因此仍恰为 $1/n$ 。

反射还把曲线在零附近延拓成偶函数。偶延拓适合边界处斜率为零的曲线；若真密度在边界正以非零斜率变化，反射会强行抹平这个趋势。恢复总质量与恢复更高阶局部形状是两件需要分别核对的事。

例子与边界

一个观测的质量，逐段积分

取 $n=1$ 、 $X_1=0.1$ 、 $h=0.2$ ，矩形核 $K(u)=\tfrac12\mathbf1_{|u|\le1}$ 。普通KDE在 $[-0.1,0.3]$ 上高度为2.5；直接删除负半轴后只剩质量 $2.5\times0.3=0.75$ 。

镜像点 $-0.1$ 的核在 $[0,0.1]$ 再贡献高度2.5。因此忽略有限个端点值，反射估计为

\widehat f_h^{\rm R}(x)=\begin{cases}5,&0\le x<0.1,\\2.5,&0.1<x\le0.3,\\0,&x>0.3.\end{cases}

总质量为 $5\times0.1+2.5\times0.2=1$ 。若镜像加入后仍按两条“独立样本”除以 $2h$ ，限制到正半轴只剩质量 $1/2$ 。

同一修正，对均匀密度和指数密度给不同偏差阶

先取 $X\sim U[0,1]$ ，仍用矩形核。对 $0<h\le1$ ，普通KDE在零处的期望是 $1/2$ ；反射估计在零处逐样本恰为普通估计的两倍，故期望为1，等于 $f(0+)$ 。

再取半直线上的指数密度 $f(t)=e^{-t}$ ， $f(0+)=1$ 、 $f'(0+)=-1$ 。此时

E\widehat f_h^{\rm R}(0)=\frac1h\int_0^h e^{-t}\,dt =\frac{1-e^{-h}}h=1-\frac h2+\frac{h^2}{6}+O(h^3).\tag{3}

反射去掉了普通KDE的常数级缺口，但仍留下 $-h/2$ 的一阶偏差。 $h=0.2$ 时期望约为0.90635，实际偏差约 $-0.09365$ 。这个差别来自真密度的边界斜率，而不是核是否归一化。

两侧都有边界时

若真实支持为 $[0,1]$ ，只反射零不会保证估计在该区间积分为1。一个观测 $X_1=0.9$ 、矩形核 $h=0.2$ ，在零反射后仍有核质量泄到1以外； $[0,1]$ 内质量只有0.75。

若 $K$ 支撑 $[-1,1]$ 且 $0<h\le1$ ，可对每个点同时加入 $-X_i$ 和 $2-X_i$ ，在 $[0,1]$ 内定义

\widehat f_h^{[0,1]}(x)=\frac1{nh}\sum_i\left[ K\!\left(\frac{x-X_i}h\right)+ K\!\left(\frac{x+X_i}h\right)+ K\!\left(\frac{x-(2-X_i)}h\right)\right],\tag{4}

区间外为零。有限支撑与 $h\le1$ 保证左镜像只补左漏失、右镜像只补右漏失，各原始观测总质量恢复为 $1/n$ 。Gaussian核有无限尾部，或带宽超过区间长度时，只有这三项一般不再精确归一化；可研究无限镜像、另作归一化或采用其他边界方法，但要重新核对其偏差。

推论与应用

归一化的证明

对一个原始观测 $a\ge0$ ，变量代换给两项积分

\int_0^\infty\frac1hK((x-a)/h)\,dx=\int_{-a/h}^\infty K(u)\,du,

\int_0^\infty\frac1hK((x+a)/h)\,dx=\int_{a/h}^\infty K(u)\,du.

对称性使第二项等于 $\int_{-\infty}^{-a/h}K(u)\,du$ ，两项之和恰为1。对 $n$ 个原始点平均得到式(2)。镜像没有增加独立抽样数；证明只是在分配同一条记录的质量。

对式(4)，原核在 $[0,1]$ 漏掉的左尾为 $\int_{-\infty}^{-a/h}K$ 、右尾为 $\int_{(1-a)/h}^\infty K$ 。左镜像在区间内的积分恰为前者，右镜像恰为后者：其远端积分端点由于 $h\le1$ 已超出 $[-1,1]$ 。三项合起来仍为1。这说明两端修正依赖的并非只有“再复制两个点”。

边界偏差与斜率条件

再假定 $K$ 对称、支撑 $[-1,1]$ ， $f$ 在零右侧有二阶连续导数。对式(1)取期望，核对称给

E\widehat f_h^{\rm R}(0)=2\int_0^1K(u)f(hu)\,du.

令 $\mu_1^+=\int_0^1uK(u)\,du$ 、 $\mu_2=\int_{-1}^1u^2K(u)\,du$ 。对 $f(hu)$ 用右侧Taylor展开，得到

E\widehat f_h^{\rm R}(0)-f(0+) =2h\mu_1^+f'(0+)+\frac{h^2\mu_2}{2}f''(0+)+o(h^2).\tag{5}

只有 $f'(0+)=0$ （或其他消去首项的特殊情形）时，才恢复这里的二阶偏差。若核可微，其导数为奇函数，式(1)两项在零处的导数逐样本相消， $\widehat f_h^{{\rm R}\prime}(0+)=0$ ；这进一步揭示了方法施加的边界形状。

方差和变换的责任

在零处 $\widehat f_h^{\rm R}(0)=2\widehat f_h(0)$ ，故反射估计的方差是原边界估计方差的四倍。不能把镜像看成 $2n$ 条独立资料而声称方差减半；两项由同一个 $X_i$ 生成。

对 $X>0$ ，另一条路线是先对 $Z=\log X$ 估计密度 $g$ ，再用 $f(x)=g(\log x)/x$ 返回。Jacobian因子 $1/x$ 负责质量变换，也可能放大零附近的误差；有真实零原子时，这个连续密度变换不能覆盖整个分布。

本页修正的是密度质量与边界形状。NW回归已在每个查询处对记录重新归一化，其边界问题主要是单侧趋势；局部直线通过矩复制处理趋势，不能把本页的密度镜像默认移给回归响应。

实现时无需实际存储镜像数据：每个查询对每条原始记录计算两次核，半直线版为 $O(n)$ 核求值、 $O(1)$ 累计空间；全曲线在 $G$ 个网格点直接求值为 $O(nG)$ 。有限区间版每点三次核求值。支持、带宽、核和边界规则必须一起报告。

自测与答案

把 $f(0)$ 任意改成7，其他密度值不变，样本分布或式(3)会变吗？不会；连续右极限仍为1，本页目标是这个右极限。
指数密度例将带宽从 $h$ 减为 $h/2$ ，首阶偏差如何改变？约减半，而不是减为四分之一；非零右导数使首项为一阶。

参考资料

B. W. Silverman, Density Estimation for Statistics and Data Analysis, 1986，§2.10 “Bounded domains and directional data”；此大学镜像为前两章的HTML打印版，PDF pp. 20–21，反射归一化、边界导数和有限区间讨论。本文式(2)–(5)及指数密度例为逐项积分推导。

形式陈述 ​

一个观测的质量，逐段积分 ​

同一修正，对均匀密度和指数密度给不同偏差阶 ​

两侧都有边界时 ​

归一化的证明 ​

边界偏差与斜率条件 ​

方差和变换的责任 ​

自测与答案 ​

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