混合策略

随机化并不会让一个人对固定对手分布获得超过最佳纯动作的收益。它的作用在于改变对手面对的分布，使对方无法利用某个确定动作的弱点。若自己把两个动作都保留在最佳回应的支持集里，这两个动作对当前对手分布必须同样好；否则把较差动作的概率移到较好动作上就能改进。

几何上，$\mathrm{\Delta }(S_i)$ 是概率单纯形，也是凸集公理库凸集Convex set任意两点间线段全部包含在集合中的向量空间子集。。两份合法分布再按比例混合，仍然是合法分布。单纯形的顶点是纯策略，边和内部点表示使用两个或更多动作。这个连续可行域为均衡存在证明提供了几何基础。

重算联合概率和收益 ​

沿用收益表

设 $p=\text{Pr}(U)=3/5$、$q=\text{Pr}(L)=2/5$。独立抽样给出

四项相加为 $1$。行玩家期望收益为 $3(6/25)+2(6/25)=6/5$；列玩家期望收益为 $2(6/25)+3(6/25)=6/5$。失配时的零收益也进入了概率平均，所以这个结果低于任一协调格的双方收益。

求出整个最佳回应集合 ​

现在让 $p,q$ 在 $[0,1]$ 内变化。行玩家纯选 $U,D$ 的收益分别为 $3q$、$2(1-q)$，二者相等当且仅当 $q=2/5$。用 $p$ 表示行玩家的混合策略，其最佳回应集合为

列玩家纯选 $L,R$ 的收益分别为 $2p$、$3(1-p)$。用 $q$ 表示列玩家策略，同理

例如对 $q=1/2$，行玩家比较 $3/2$ 与 $1$，只选 $U$ 才最优；对 $q=2/5$，两纯动作都得 $6/5$，任意混合都最优。求均衡时使行玩家无差异的方程决定的是列玩家概率 $q$，而不是行玩家自己的概率 $p$。

相同边际不等于相同联合分布 ​

若双方各以概率 $1/2$ 选第一个动作，独立抽样使四格各占 $1/4$。另一种实验是两人观察同一枚公平硬币：正面共同选 $UL$，反面共同选 $DR$。此时个人边际仍都是 $(1/2,1/2)$，联合分布却只在两个协调格各放 $1/2$。前者双方期望收益为 $5/4$，后者为 $5/2$。

共同硬币引入了相关性，因此后者不能由前述独立混合剖面直接表达。稳定性还要检查偏离：在协调分布中，行玩家收到 $U$ 时改成 $D$ 会损失 $3$，收到 $D$ 时改成 $U$ 会损失 $2$；列玩家的两个改换也都吃亏。因此这个联合分布满足相关均衡公理库相关均衡Correlated equilibrium · CE允许玩家根据私人动作建议选择偏离，以有限条线性服从约束刻画联合分布的稳定性。的服从约束，该页列出了全部约束。

相反，在四格各 $1/4$ 的独立分布中，行玩家固定选 $U$ 能得 $3/2$，高于服从时的 $5/4$，增益为 $1/4$。它连粗相关均衡公理库粗相关均衡Coarse correlated equilibrium · CCE对联合动作分布检验事先固定的单方偏离，并把经验分布的约束违反量精确写成平均外部遗憾。的固定偏离检验都不能通过。相同边际只保持固定动作面对对手的收益；相关性改变了原联合方案的服从收益，二者比较的结果因而可能不同。

Nash 均衡公理库Nash 均衡Nash equilibrium · 纳什均衡 · 混合策略纳什均衡每位玩家都无法在其他人策略固定时通过单方偏离增加期望收益；有限博弈总存在这样的混合策略剖面。要求每人的支持集都落在面对当前对手分布的纯最佳回应集合中。该条件把一个看似需要检查无穷多种概率偏离的问题，化为有限个纯动作的收益比较；真正求解时仍需同时满足所有人的条件和概率约束。

在矩阵零和博弈公理库矩阵博弈极小极大定理Matrix game minimax theorem · Von Neumann minimax theorem · 有限零和博弈极小极大定理有限二人零和博弈允许独立混合后，行玩家的最大保证收益等于列玩家的最小收益上界，并由一对线性规划提供精确证书。中，行列分布 $x,y$ 的期望收益简写为 $x^{\mathsf{T}}Ay$。固定一方后，另一方的最佳收益由某个纯动作取得，这正是把最坏回应转成有限条线性约束的依据。