有限策略式博弈

设两位合作者要选择同一种工作方案。两人都选方案一能合作，两人都选方案二也能合作，但各选各的就无法开始。其中一人更偏好方案一，另一人更偏好方案二。收益表既能记录合作带来的共同利益，也能记录他们对不同合作方式的偏好。

最佳回应回答一个局部问题：如果对方已经选定，我该如何选择？把对方的动作固定后，这只是一个有限最大值问题。难点出现在双方同时使用这条原则时：我想根据你的选择优化，你也想根据我的选择优化。Nash 均衡公理库Nash 均衡Nash equilibrium · 纳什均衡 · 混合策略纳什均衡每位玩家都无法在其他人策略固定时通过单方偏离增加期望收益；有限博弈总存在这样的混合策略剖面。寻找的正是彼此都是最佳回应的剖面。

在同一张表上找双方的最佳回应 ​

行玩家选择 $U$ 或 $D$，列玩家选择 $L$ 或 $R$。收益表为

先找行玩家的回应。固定 $L$，只比较第一列每格的第一个数：$3>0$，所以 ${\mathrm{BR}}_1(L)=\{U\}$。固定 $R$，第一收益分别为 $0,2$，所以 ${\mathrm{BR}}_1(R)=\{D\}$。

再找列玩家的回应。固定 $U$，沿第一行比较第二个数：$2>0$，所以 ${\mathrm{BR}}_2(U)=\{L\}$。固定 $D$，第二收益分别为 $0,3$，所以 ${\mathrm{BR}}_2(D)=\{R\}$。这两次比较使用同一收益表，只是读取的收益坐标和移动方向不同。

在 $(U,L)$ 处，行玩家改选 $D$ 会从 $3$ 降到 $0$，列玩家改选 $R$ 会从 $2$ 降到 $0$；在 $(D,R)$ 处也一样没有获利的单方偏离。反过来，在 $(U,R)$ 处两人各自都有收益从 $0$ 上升的偏离，在 $(D,L)$ 处亦然。因此恰有两个彼此最佳回应的纯策略剖面。这个检查不需要猜测谁先行动。

模型包含什么信息 ​

策略式表示列出完整选择及其结果，不在表内描述决策发生的时间或玩家沿途观察到的信息。若原问题是一场有多步行动的游戏，纯策略需要规定该玩家在每种可遇到的信息情形下如何行动；只写“这一步选左或右”可能尚未给出完整策略。

上表的两人收益之和在协调格为 $5$、失配格为 $0$，所以不是零和博弈。零和要求每一格的收益相加为零，不是要求某个策略的收益为零，也不是要求双方喜好不同。本页使用实值收益来比较偏离；效用数值没有自动成为可在人际之间相加比较的福利单位。

混合策略公理库混合策略Mixed strategy · 混合策略剖面将有限纯策略上的概率分布作为选择，独立抽样形成联合结果，并由支持集上的最佳回应刻画最优混合。把纯策略集上的选择扩展为概率分布，保留同一套收益函数，并通过有限加权和定义随机选择的收益。Nash 均衡公理库Nash 均衡Nash equilibrium · 纳什均衡 · 混合策略纳什均衡每位玩家都无法在其他人策略固定时通过单方偏离增加期望收益；有限博弈总存在这样的混合策略剖面。再要求每个人对其他人的策略都是最佳回应；纯策略表里找不到这样的格子时，允许随机化仍可能找到均衡。

对于二人零和表 $(A,-A)$，矩阵博弈极小极大定理公理库矩阵博弈极小极大定理Matrix game minimax theorem · Von Neumann minimax theorem · 有限零和博弈极小极大定理有限二人零和博弈允许独立混合后，行玩家的最大保证收益等于列玩家的最小收益上界，并由一对线性规划提供精确证书。进一步给出双方共同面对的价值和线性规划证书。一般收益表没有这种单一价值：上面的两个纯均衡已经分别产生 $(3,2)$ 与 $(2,3)$，不能把双方的优化目标合并成同一个数字。

直接显示机制公理库直接显示机制Direct-revelation mechanism · 直接报告机制 · 显示原理 · Revelation principle用类型报告、结果规则和支付规则区分真实偏好与策略选择，写清占优策略及贝叶斯激励约束，并以策略模拟证明直接显示原理。让玩家报告自己的私人类型，再据此决定分配和支付。固定真实类型后，报告成为策略，真实估值减支付成为收益；当报告集也有限时，就得到本页的有限策略式博弈。机制设计进一步选择这些规则，使诚实报告能够经受单方偏离检验；仅有有限分配结果，并不保证报告集有限。